11класс
Страница 126 номер 13.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Глава 3. Комплексные числа. §13. Множество комплексных чисел. Страница 126. Номер 13.13
Задание / условие:
Докажите, что: 1) \(z + \overline{z} = 2\operatorname{Re} z\); 2) \(z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im} z\).
Решение:
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \(\operatorname{Re} z = a\), \(\operatorname{Im} z = b\) и \(\overline{z} = a - bi\).
1) \[z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a = 2\operatorname{Re} z.\]
2) \[z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi = 2i\operatorname{Im} z.\]
Ответ: доказано: для любого комплексного числа \(z\) выполняются равенства \(z + \overline{z} = 2\operatorname{Re} z\) и \(z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im} z\).
