Страница 109 номер 11.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите определённый интеграл \(\int\limits_{1}^{e} \ln x\,dx\).
Функция \(y = \ln x\) непрерывна на отрезке \([1;\ e]\) и неотрицательна на нём: \(\ln x \geqslant \ln 1 = 0\) при \(x \geqslant 1\). Поэтому интеграл равен площади \(S\) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = \ln x\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = e\).
Прямоугольник с вершинами \(O(0;\ 0)\), \((e;\ 0)\), \((e;\ 1)\) и \((0;\ 1)\) имеет площадь \(e \cdot 1 = e\). Дуга графика функции \(y = \ln x\) от точки \((1;\ 0)\) до точки \((e;\ 1)\) делит его на эту криволинейную трапецию и фигуру площадью \(S_1\) левее дуги — из точек \((x;\ y)\), для которых \(0 \leqslant y \leqslant 1\) и \(0 \leqslant x \leqslant e^y\) (при \(x > 0\) неравенство \(\ln x \leqslant y\) равносильно неравенству \(x \leqslant e^y\)).
Функции \(y = \ln x\) и \(y = e^x\) взаимно обратные, поэтому их графики симметричны относительно прямой \(y = x\): точка \((x;\ y)\) переходит в точку \((y;\ x)\). Значит, фигура площадью \(S_1\) переходит в фигуру из точек, для которых \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(0 \leqslant y \leqslant e^x\), — в криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции \(y = e^x\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 1\), поэтому
\[S_1 = \int\limits_{0}^{1} e^x\,dx = e^x\Big|_{0}^{1} = e - 1.\]
Тогда
\[\int\limits_{1}^{e} \ln x\,dx = S = e - S_1 = e - (e - 1) = 1.\]
Ответ: 1.
Вычислите определённый интеграл \(\int\limits_{1}^{e} \ln x\,dx\).
Функция \(y = \ln x\) непрерывна на отрезке \([1;\ e]\) и неотрицательна на нём: \(\ln x \geqslant \ln 1 = 0\) при \(x \geqslant 1\). Поэтому интеграл \(\int\limits_{1}^{e} \ln x\,dx\) равен площади \(S\) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = \ln x\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = e\).
Рассмотрим прямоугольник с вершинами \(O(0;\ 0)\), \((e;\ 0)\), \((e;\ 1)\) и \((0;\ 1)\), его площадь равна \(e \cdot 1 = e\). Дуга графика функции \(y = \ln x\) от точки \((1;\ 0)\) до точки \((e;\ 1)\) делит его на две фигуры: эту криволинейную трапецию и фигуру площадью \(S_1\), лежащую левее дуги. Вторая фигура состоит из точек \((x;\ y)\), для которых \(0 \leqslant y \leqslant 1\) и \(0 \leqslant x \leqslant e^y\): при \(x > 0\) неравенство \(\ln x \leqslant y\) равносильно неравенству \(x \leqslant e^y\).
Функции \(y = \ln x\) и \(y = e^x\) взаимно обратные, поэтому их графики симметричны относительно прямой \(y = x\); при этой симметрии точка \((x;\ y)\) переходит в точку \((y;\ x)\). Значит, фигура площадью \(S_1\) переходит в фигуру из точек, для которых \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(0 \leqslant y \leqslant e^x\), — в криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции \(y = e^x\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 1\). Симметричные фигуры имеют равные площади, поэтому
\[S_1 = \int\limits_{0}^{1} e^x\,dx = e^x\Big|_{0}^{1} = e - 1.\]
Тогда
\[\int\limits_{1}^{e} \ln x\,dx = S = e - S_1 = e - (e - 1) = 1.\]
Ответ: 1.
