Страница 108 номер 11.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Функция \(y = -\frac{1}{x} + x\) — первообразная функции \(y = \frac{1}{x^2} + 1\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежат числа \(\frac{1}{2}\) и \(a\). Тогда \[\begin{aligned} &\int\limits_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right)dx = \left(-\frac{1}{x} + x\right)\Big|_{\frac{1}{2}}^{a} = {} \\ &= \left(-\frac{1}{a} + a\right) - \left(-2 + \frac{1}{2}\right) = a - \frac{1}{a} + 1{,}5. \end{aligned}\]

Неравенство принимает вид \(a - \frac{1}{a} + 1{,}5 > 1{,}5\), т. е. \(a - \frac{1}{a} > 0\), или \(\frac{a^2 - 1}{a} > 0\). При \(a > \frac{1}{2}\) знаменатель \(a\) положителен, поэтому неравенство равносильно неравенству \(a^2 - 1 > 0\), т. е. \((a - 1)(a + 1) > 0\). Множитель \(a + 1\) при \(a > \frac{1}{2}\) положителен, значит, \(a - 1 > 0\), т. е. \(a > 1\). Все такие \(a\) удовлетворяют условию \(a > \frac{1}{2}\).

Ответ: \((1;\ +\infty)\).