Страница 107 номер 11.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каком значении \(a\) прямая \(x = a\) разбивает фигуру, ограниченную графиком функции \(y = \frac{2}{x}\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 3\), \(x = 12\), на две равновеликие фигуры?
Функция \(y = \frac{2}{x}\) непрерывна и положительна на отрезке \([3;\ 12]\), поэтому данная фигура — криволинейная трапеция. Прямая \(x = a\) разбивает её на две фигуры, только если \(3 < a < 12\); это криволинейные трапеции на отрезках \([3;\ a]\) и \([a;\ 12]\) с площадями \(S_1\) и \(S_2\).
Функция \(y = 2\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{2}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), поэтому
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{3}^{a} \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x\Big|_{3}^{a} = 2\ln a - 2\ln 3 = 2\ln\frac{a}{3}; \\ S_2 &= \int\limits_{a}^{12} \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x\Big|_{a}^{12} = 2\ln 12 - 2\ln a = 2\ln\frac{12}{a}. \end{aligned}\]
Фигуры равновелики при \(S_1 = S_2\), то есть при \(\ln\frac{a}{3} = \ln\frac{12}{a}\). Функция \(y = \ln x\) возрастает, поэтому это равенство равносильно равенству \(\frac{a}{3} = \frac{12}{a}\), откуда \(a^2 = 36\). Условию \(3 < a < 12\) из чисел \(-6\) и \(6\) удовлетворяет только \(a = 6\).
Ответ: при \(a = 6\).
При каком значении \(a\) прямая \(x = a\) разбивает фигуру, ограниченную графиком функции \(y = \frac{2}{x}\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 3\), \(x = 12\), на две равновеликие фигуры?
Функция \(y = \frac{2}{x}\) непрерывна и положительна на отрезке \([3;\ 12]\), поэтому данная фигура — криволинейная трапеция. Прямая \(x = a\) разбивает её на две фигуры, только если \(3 < a < 12\); тогда это криволинейные трапеции на отрезках \([3;\ a]\) и \([a;\ 12]\). Обозначим их площади \(S_1\) и \(S_2\).
Функция \(y = 2\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{2}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), поэтому
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{3}^{a} \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x\Big|_{3}^{a} = 2\ln a - 2\ln 3 = 2\ln\frac{a}{3}; \\ S_2 &= \int\limits_{a}^{12} \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x\Big|_{a}^{12} = 2\ln 12 - 2\ln a = 2\ln\frac{12}{a}. \end{aligned}\]
Фигуры равновелики, т. е. имеют равные площади, тогда и только тогда, когда \(S_1 = S_2\), т. е. \(\ln\frac{a}{3} = \ln\frac{12}{a}\). Функция \(y = \ln x\) возрастает, поэтому каждое своё значение принимает не более одного раза, и последнее равенство равносильно равенству \(\frac{a}{3} = \frac{12}{a}\), откуда \(a^2 = 36\). Условию \(3 < a < 12\) из чисел \(-6\) и \(6\) удовлетворяет только \(a = 6\).
Ответ: при \(a = 6\).
