Страница 109 номер 11.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\), прямой, которая касается этой параболы в точке с абсциссой \(x_0 = 2\), и осями координат.
Пусть \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1\). Тогда \(f'(x) = x\), \(f(2) = 3\), \(f'(2) = 2\), и уравнение касательной в точке с абсциссой \(x_0 = 2\): \(y = 2(x - 2) + 3\), или \(y = 2x - 1\). Касательная пересекает ось абсцисс в точке \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\). Парабола лежит не ниже касательной: \(\frac{1}{2}x^2 + 1 - (2x - 1) = \frac{1}{2}(x - 2)^2 \geqslant 0\).
Фигуру слева ограничивает ось ординат, сверху — парабола, снизу — ось абсцисс на отрезке \(\left[0;\ \frac{1}{2}\right]\) и касательная на отрезке \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\). Её площадь \(S = S_1 - S_2\), где \(S_1\) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой и прямыми \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\), а \(S_2\) — площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \(x = 2\) (на отрезке \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\) функция \(y = 2x - 1\) неотрицательна):
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^2 + 1\right)dx = \left(\frac{x^3}{6} + x\right)\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{6} + 2 = \frac{10}{3}; \\ S_2 &= \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} (2x - 1)\,dx = \left(x^2 - x\right)\Big|_{\frac{1}{2}}^{2} = (4 - 2) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 - S_2 = \frac{10}{3} - \frac{9}{4} = \frac{13}{12}\).
Ответ: \(\frac{13}{12}\).
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\), прямой, которая касается этой параболы в точке с абсциссой \(x_0 = 2\), и осями координат.
Пусть \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1\). Тогда \(f'(x) = x\), \(f(2) = 3\), \(f'(2) = 2\), и уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой \(x_0 = 2\) имеет вид \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\), то есть \(y = 2(x - 2) + 3\), или \(y = 2x - 1\). Касательная пересекает ось абсцисс в точке \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\). Парабола лежит не ниже касательной: \(\frac{1}{2}x^2 + 1 - (2x - 1) = \frac{1}{2}(x - 2)^2 \geqslant 0\).
Фигура, ограниченная параболой, касательной и осями координат, слева ограничена осью ординат, сверху — параболой, а снизу — осью абсцисс на отрезке \(\left[0;\ \frac{1}{2}\right]\) и касательной на отрезке \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\). Её площадь \(S = S_1 - S_2\), где \(S_1\) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой и прямыми \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\), а \(S_2\) — площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \(x = 2\) (он лежит внутри этой трапеции, так как касательная не выше параболы). На отрезке \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\) функция \(y = 2x - 1\) неотрицательна, поэтому
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^2 + 1\right)dx = \left(\frac{x^3}{6} + x\right)\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{6} + 2 = \frac{10}{3}; \\ S_2 &= \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} (2x - 1)\,dx = \left(x^2 - x\right)\Big|_{\frac{1}{2}}^{2} = (4 - 2) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 - S_2 = \frac{10}{3} - \frac{9}{4} = \frac{13}{12}\).
Ответ: \(\frac{13}{12}\).
