Страница 107 номер 11.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях \(a\) выполняется неравенство: 1) \(\int\limits_{0}^{a} (4 - 2x)\,dx < 3\), где \(a > 0\); 2) \(\int\limits_{\log_{0{,}2} 6}^{a} 0{,}2^{x}\,dx > \frac{19}{\ln 0{,}2}\), где \(a > \log_{0{,}2} 6\)?
1) \[\int\limits_{0}^{a} (4 - 2x)\,dx = (4x - x^2)\Big|_{0}^{a} = 4a - a^2.\]
\(4a - a^2 < 3\), то есть \(a^2 - 4a + 3 > 0\), или \((a - 1)(a - 3) > 0\), откуда \(a < 1\) или \(a > 3\). С учётом условия \(a > 0\) получаем \(0 < a < 1\) или \(a > 3\).
2) \(0{,}2^{\log_{0{,}2} 6} = 6\), поэтому при \(a > \log_{0{,}2} 6\) \[\begin{aligned} &\int\limits_{\log_{0{,}2} 6}^{a} 0{,}2^x\,dx = \frac{0{,}2^x}{\ln 0{,}2}\Big|_{\log_{0{,}2} 6}^{a} = {} \\ &= \frac{0{,}2^a}{\ln 0{,}2} - \frac{6}{\ln 0{,}2} = \frac{0{,}2^a - 6}{\ln 0{,}2}. \end{aligned}\]
Число \(\ln 0{,}2\) отрицательно, так как \(0{,}2 < 1\), поэтому при умножении обеих частей неравенства на \(\ln 0{,}2\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{0{,}2^a - 6}{\ln 0{,}2} &> \frac{19}{\ln 0{,}2}; \qquad | \cdot \ln 0{,}2 \\ 0{,}2^a - 6 &< 19; \\ 0{,}2^a &< 25; \\ 0{,}2^a &< 0{,}2^{-2}. \end{aligned}\]
Основание \(0{,}2\) меньше 1, поэтому функция \(y = 0{,}2^t\) убывает, и неравенство \(0{,}2^a < 0{,}2^{-2}\) равносильно неравенству \(a > -2\).
Функция \(y = \log_{0{,}2} t\) убывает и \(6 < 25\), поэтому \(\log_{0{,}2} 6 > \log_{0{,}2} 25 = -2\). Значит, каждое \(a > \log_{0{,}2} 6\) удовлетворяет неравенству \(a > -2\), и искомые значения — все \(a > \log_{0{,}2} 6\).
Ответ: 1) \((0;\ 1) \cup (3;\ +\infty)\); 2) \((\log_{0{,}2} 6;\ +\infty)\).
При каких значениях \(a\) выполняется неравенство: 1) \(\int\limits_{0}^{a} (4 - 2x)\,dx < 3\), где \(a > 0\); 2) \(\int\limits_{\log_{0{,}2} 6}^{a} 0{,}2^{x}\,dx > \frac{19}{\ln 0{,}2}\), где \(a > \log_{0{,}2} 6\)?
1) При \(a > 0\) имеем: \[\int\limits_{0}^{a} (4 - 2x)\,dx = (4x - x^2)\Big|_{0}^{a} = 4a - a^2.\]
Неравенство принимает вид \(4a - a^2 < 3\), т. е. \(a^2 - 4a + 3 > 0\), или \((a - 1)(a - 3) > 0\). Произведение положительно, когда оба множителя одного знака, т. е. при \(a < 1\) или при \(a > 3\). С учётом условия \(a > 0\) получаем \(0 < a < 1\) или \(a > 3\).
2) Функция \(y = \frac{0{,}2^x}{\ln 0{,}2}\) — первообразная функции \(y = 0{,}2^x\). По основному логарифмическому тождеству \(0{,}2^{\log_{0{,}2} 6} = 6\), поэтому при \(a > \log_{0{,}2} 6\) \[\begin{aligned} &\int\limits_{\log_{0{,}2} 6}^{a} 0{,}2^x\,dx = \frac{0{,}2^x}{\ln 0{,}2}\Big|_{\log_{0{,}2} 6}^{a} = {} \\ &= \frac{0{,}2^a}{\ln 0{,}2} - \frac{6}{\ln 0{,}2} = \frac{0{,}2^a - 6}{\ln 0{,}2}. \end{aligned}\]
Число \(\ln 0{,}2\) отрицательно, так как \(0{,}2 < 1\). Поэтому, умножив обе части неравенства на \(\ln 0{,}2\), меняем знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{0{,}2^a - 6}{\ln 0{,}2} &> \frac{19}{\ln 0{,}2}; \qquad | \cdot \ln 0{,}2 \\ 0{,}2^a - 6 &< 19; \\ 0{,}2^a &< 25; \\ 0{,}2^a &< 0{,}2^{-2}. \end{aligned}\]
Основание \(0{,}2\) меньше 1, поэтому функция \(y = 0{,}2^t\) убывает, и неравенство \(0{,}2^a < 0{,}2^{-2}\) равносильно неравенству \(a > -2\).
Поскольку \(6 < 25\), а функция \(y = \log_{0{,}2} t\) убывает, выполняется неравенство \(\log_{0{,}2} 6 > \log_{0{,}2} 25 = -2\). Значит, каждое \(a > \log_{0{,}2} 6\) удовлетворяет неравенству \(a > -2\), и искомые значения — все \(a > \log_{0{,}2} 6\).
Ответ: 1) \((0;\ 1) \cup (3;\ +\infty)\); 2) \((\log_{0{,}2} 6;\ +\infty)\).
