Страница 126 номер 13.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что для всех \(z \in \mathbf{C}\) число \(z^2 + \overline{z}^2\) является действительным.
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = a - bi\). \[\begin{aligned} z^2 &= (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2 i^2 = a^2 - b^2 + 2abi; \\ \overline{z}^2 &= (a - bi)^2 = a^2 - 2abi + b^2 i^2 = a^2 - b^2 - 2abi. \end{aligned}\] Отсюда \[\begin{aligned} &z^2 + \overline{z}^2 = (a^2 - b^2 + 2abi) + (a^2 - b^2 - 2abi) = {} \\ &= 2a^2 - 2b^2. \end{aligned}\] Числа \(a\) и \(b\) действительные, поэтому число \(2a^2 - 2b^2\) тоже действительное.
Ответ: доказано: при любом \(z \in \mathbf{C}\) число \(z^2 + \overline{z}^2\) действительное; при \(z = a + bi\) оно равно \(2a^2 - 2b^2\).
Докажите, что для всех \(z \in \mathbf{C}\) число \(z^2 + \overline{z}^2\) является действительным.
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = a - bi\). Возведём эти числа в квадрат по формулам квадрата суммы и квадрата разности, заменяя \(i^2\) на \(-1\): \[\begin{aligned} z^2 &= (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2 i^2 = a^2 - b^2 + 2abi; \\ \overline{z}^2 &= (a - bi)^2 = a^2 - 2abi + b^2 i^2 = a^2 - b^2 - 2abi. \end{aligned}\]
Сложим полученные числа: \[\begin{aligned} &z^2 + \overline{z}^2 = (a^2 - b^2 + 2abi) + (a^2 - b^2 - 2abi) = {} \\ &= 2a^2 - 2b^2. \end{aligned}\]
Числа \(a\) и \(b\) действительные, поэтому число \(2a^2 - 2b^2\) тоже действительное.
Ответ: доказано: при любом \(z \in \mathbf{C}\) число \(z^2 + \overline{z}^2\) действительное; при \(z = a + bi\) оно равно \(2a^2 - 2b^2\).
