Страница 126 номер 13.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что для всех \(z \in \mathbf{C}\) выполняется равенство: 1) \(\overline{\overline{z}} = z\); 2) \(|z| = |\overline{z}|\).
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \(\overline{z} = a - bi = a + (-b)i\).
1) \[\overline{\overline{z}} = \overline{a - bi} = a + bi = z.\]
2) \[|\overline{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = |z|.\]
Ответ: доказано: для любого \(z \in \mathbf{C}\) выполняются равенства \(\overline{\overline{z}} = z\) и \(|z| = |\overline{z}|\).
Докажите, что для всех \(z \in \mathbf{C}\) выполняется равенство: 1) \(\overline{\overline{z}} = z\); 2) \(|z| = |\overline{z}|\).
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \(\overline{z} = a - bi = a + (-b)i\).
1) Число, сопряжённое числу \(a + (-b)i\), равно \(a - (-b)i = a + bi\): \[\overline{\overline{z}} = \overline{a - bi} = a + bi = z.\]
2) Действительная часть числа \(\overline{z}\) равна \(a\), мнимая равна \(-b\): \[|\overline{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = |z|.\]
Ответ: доказано: для любого \(z \in \mathbf{C}\) выполняются равенства \(\overline{\overline{z}} = z\) и \(|z| = |\overline{z}|\).
