Страница 109 номер 11.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Функция \(y = \sqrt{1 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-1;\ 1]\); её график (\(y \geqslant 0\), \(x^2 + y^2 = 1\)) — верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \([-1;\ 1]\) — полукруг радиуса 1, поэтому
\[\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}.\]
2) Функция \(y = \sqrt{9 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-3;\ 3]\); её график (\(y \geqslant 0\), \(x^2 + y^2 = 9\)) — верхняя полуокружность радиуса 3 с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \([-3;\ 0]\) — четверть круга радиуса 3, поэтому
\[\int\limits_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2}\,dx = \frac{1}{4}\pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4}.\]
3) \(8x - x^2 = 16 - (x - 4)^2\). График функции \(y = \sqrt{16 - (x - 4)^2}\) (\(y \geqslant 0\), \((x - 4)^2 + y^2 = 16\)) — верхняя полуокружность радиуса 4 с центром в точке \((4;\ 0)\); функция непрерывна и неотрицательна на отрезке \([0;\ 8]\). Криволинейная трапеция на отрезке \([4;\ 8]\) — четверть круга радиуса 4, поэтому
\[\int\limits_{4}^{8} \sqrt{8x - x^2}\,dx = \frac{1}{4}\pi \cdot 4^2 = 4\pi.\]
4) \(5 - 4x - x^2 = 9 - (x + 2)^2\). График функции \(y = \sqrt{9 - (x + 2)^2}\) (\(y \geqslant 0\), \((x + 2)^2 + y^2 = 9\)) — верхняя полуокружность радиуса 3 с центром в точке \((-2;\ 0)\); функция непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-5;\ 1]\). Криволинейная трапеция на всём этом отрезке — полукруг радиуса 3, поэтому
\[\int\limits_{-5}^{1} \sqrt{5 - 4x - x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2}.\]
5) Функция \(y = |x|\) непрерывна и неотрицательна. Ось ординат делит криволинейную трапецию на отрезке \([-4;\ 1]\) на два прямоугольных равнобедренных треугольника: площадью \(S_1\) с катетами 4 и площадью \(S_2\) с катетами 1, поэтому
\[\int\limits_{-4}^{1} |x|\,dx = S_1 + S_2 = \frac{4 \cdot 4}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = 8{,}5.\]
6) Функция \(y = |x - 2|\) непрерывна и неотрицательна. Прямая \(x = 2\) делит криволинейную трапецию на отрезке \([0;\ 5]\) на два прямоугольных равнобедренных треугольника: площадью \(S_1\) с катетами 2 и площадью \(S_2\) с катетами 3, поэтому
\[\int\limits_{0}^{5} |x - 2|\,dx = S_1 + S_2 = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5.\]
Ответ: 1) \(\frac{\pi}{2}\); 2) \(\frac{9\pi}{4}\); 3) \(4\pi\); 4) \(\frac{9\pi}{2}\); 5) \(8{,}5\); 6) \(6{,}5\).
Если функция \(f\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([a;\ b]\), то интеграл \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f\) и прямыми \(y = 0\), \(x = a\), \(x = b\). В каждом пункте найдём интеграл как площадь такой фигуры.
1) Функция \(y = \sqrt{1 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-1;\ 1]\). Её график задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \(x^2 + y^2 = 1\) — это верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \([-1;\ 1]\) — полукруг радиуса 1, поэтому
\[\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}.\]
2) Функция \(y = \sqrt{9 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-3;\ 3]\). Её график задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \(x^2 + y^2 = 9\) — это верхняя полуокружность радиуса 3 с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \([-3;\ 0]\) — четверть круга радиуса 3, поэтому
\[\int\limits_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2}\,dx = \frac{1}{4}\pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4}.\]
3) Выделим полный квадрат: \(8x - x^2 = 16 - (x - 4)^2\). График функции \(y = \sqrt{16 - (x - 4)^2}\) задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \((x - 4)^2 + y^2 = 16\) — это верхняя полуокружность радиуса 4 с центром в точке \((4;\ 0)\); функция непрерывна и неотрицательна на отрезке \([0;\ 8]\). Криволинейная трапеция на отрезке \([4;\ 8]\) — четверть круга радиуса 4, поэтому
\[\int\limits_{4}^{8} \sqrt{8x - x^2}\,dx = \frac{1}{4}\pi \cdot 4^2 = 4\pi.\]
4) Выделим полный квадрат: \(5 - 4x - x^2 = 9 - (x + 2)^2\). График функции \(y = \sqrt{9 - (x + 2)^2}\) задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \((x + 2)^2 + y^2 = 9\) — это верхняя полуокружность радиуса 3 с центром в точке \((-2;\ 0)\); функция непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-5;\ 1]\). Криволинейная трапеция на всём этом отрезке — полукруг радиуса 3, поэтому
\[\int\limits_{-5}^{1} \sqrt{5 - 4x - x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2}.\]
5) Функция \(y = |x|\) непрерывна и неотрицательна. Ось ординат делит криволинейную трапецию на отрезке \([-4;\ 1]\) на два прямоугольных равнобедренных треугольника: площадью \(S_1\) с катетами 4 (вершины \((-4;\ 0)\), \(O(0;\ 0)\), \((-4;\ 4)\)) и площадью \(S_2\) с катетами 1 (вершины \(O(0;\ 0)\), \((1;\ 0)\), \((1;\ 1)\)). Поэтому
\[\int\limits_{-4}^{1} |x|\,dx = S_1 + S_2 = \frac{4 \cdot 4}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = 8{,}5.\]
6) Функция \(y = |x - 2|\) непрерывна и неотрицательна. Прямая \(x = 2\) делит криволинейную трапецию на отрезке \([0;\ 5]\) на два прямоугольных равнобедренных треугольника: площадью \(S_1\) с катетами 2 (вершины \(O(0;\ 0)\), \((2;\ 0)\), \((0;\ 2)\)) и площадью \(S_2\) с катетами 3 (вершины \((2;\ 0)\), \((5;\ 0)\), \((5;\ 3)\)). Поэтому
\[\int\limits_{0}^{5} |x - 2|\,dx = S_1 + S_2 = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5.\]
Ответ: 1) \(\frac{\pi}{2}\); 2) \(\frac{9\pi}{4}\); 3) \(4\pi\); 4) \(\frac{9\pi}{2}\); 5) \(8{,}5\); 6) \(6{,}5\).
