Страница 108 номер 11.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Функция задана формулой \(y = 2 - x^2\) при \(x < 1\) и формулой \(y = 2x - 1\) при \(x \geqslant 1\); фигура ограничена её графиком и прямыми \(y = 0\), \(x = -1\), \(x = 2\). При \(x = 1\) обе формулы дают \(2 - 1^2 = 1\) и \(2 \cdot 1 - 1 = 1\), поэтому функция непрерывна на отрезке \([-1;\ 2]\). На этом отрезке она положительна: \(2 - x^2 \geqslant 1\) при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) и \(2x - 1 \geqslant 1\) при \(1 \leqslant x \leqslant 2\). Прямая \(x = 1\) делит фигуру на две криволинейные трапеции, их площади:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-1}^{1} \left(2 - x^2\right)dx = \left(2x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{1} = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - \left(-2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3}; \\ S_2 &= \int\limits_{1}^{2} (2x - 1)\,dx = \left(x^2 - x\right)\Big|_{1}^{2} = (4 - 2) - (1 - 1) = 2. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = \frac{10}{3} + 2 = \frac{16}{3}\).
2) Функция задана формулой \(y = \cos x\) при \(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant 0\) и формулой \(y = 1 - x\) при \(0 < x \leqslant 1\); фигура ограничена её графиком и прямой \(y = 0\). Функция непрерывна на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ 1\right]\): значение \(\cos 0 = 1\) совпадает со значением выражения \(1 - x\) при \(x = 0\). На концах отрезка функция равна нулю: \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\) и \(1 - 1 = 0\), а внутри отрезка положительна: \(\cos x > 0\) при \(-\frac{\pi}{2} < x \leqslant 0\) и \(1 - x > 0\) при \(0 < x < 1\). Поэтому график функции и прямая \(y = 0\) ограничивают криволинейную трапецию на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ 1\right]\), а ось ординат делит её на две части:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x\,dx = \sin x\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin 0 - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1; \\ S_2 &= \int\limits_{0}^{1} (1 - x)\,dx = \left(x - \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = 1 + \frac{1}{2} = 1{,}5\).
Ответ: 1) \(\frac{16}{3}\); 2) \(1{,}5\).
1) Функция задана формулой \(y = 2 - x^2\) при \(x < 1\) и формулой \(y = 2x - 1\) при \(x \geqslant 1\); фигура ограничена её графиком и прямыми \(y = 0\), \(x = -1\), \(x = 2\). При \(x = 1\) обе формулы дают одно и то же значение: \(2 - 1^2 = 1\) и \(2 \cdot 1 - 1 = 1\), поэтому функция непрерывна на отрезке \([-1;\ 2]\). На этом отрезке она положительна: \(2 - x^2 \geqslant 1\) при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) и \(2x - 1 \geqslant 1\) при \(1 \leqslant x \leqslant 2\). Прямая \(x = 1\) делит фигуру на две криволинейные трапеции: под графиком функции \(y = 2 - x^2\) на отрезке \([-1;\ 1]\) и под графиком функции \(y = 2x - 1\) на отрезке \([1;\ 2]\). Их площади:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-1}^{1} \left(2 - x^2\right)dx = \left(2x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{1} = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - \left(-2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3}; \\ S_2 &= \int\limits_{1}^{2} (2x - 1)\,dx = \left(x^2 - x\right)\Big|_{1}^{2} = (4 - 2) - (1 - 1) = 2. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = \frac{10}{3} + 2 = \frac{16}{3}\).
2) Функция задана формулой \(y = \cos x\) при \(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant 0\) и формулой \(y = 1 - x\) при \(0 < x \leqslant 1\); фигура ограничена её графиком и прямой \(y = 0\). Функция определена на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ 1\right]\) и непрерывна на нём: значение \(\cos 0 = 1\) совпадает со значением выражения \(1 - x\) при \(x = 0\). На концах отрезка функция равна нулю: \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\) и \(1 - 1 = 0\), а внутри отрезка положительна: \(\cos x > 0\) при \(-\frac{\pi}{2} < x \leqslant 0\) и \(1 - x > 0\) при \(0 < x < 1\). Поэтому график функции и прямая \(y = 0\) ограничивают криволинейную трапецию на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ 1\right]\), а ось ординат делит её на две части:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x\,dx = \sin x\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin 0 - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1; \\ S_2 &= \int\limits_{0}^{1} (1 - x)\,dx = \left(x - \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = 1 + \frac{1}{2} = 1{,}5\).
Ответ: 1) \(\frac{16}{3}\); 2) \(1{,}5\).
