Страницы 106-107 номер 11.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Если функции \(f\) и \(g\) непрерывны на отрезке \([a;\ b]\) и \(f(x) \geqslant g(x)\) при всех \(x \in [a;\ b]\), то площадь фигуры, ограниченной их графиками и прямыми \(x = a\), \(x = b\), равна \[S = \int\limits_{a}^{b} (f(x) - g(x))\,dx.\]

1) Фигура ограничена параболой \(y = x^2\) и прямой \(y = 4\). Решив уравнение \(x^2 = 4\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = -2\) и \(x = 2\). При \(x \in [-2;\ 2]\) выполняется неравенство \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \geqslant 0\), т. е. на этом отрезке прямая \(y = 4\) лежит не ниже параболы.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{2} = {} \\ &= \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}. \end{aligned}\]

2) Фигура ограничена параболой \(y = 2x^2\) и прямой \(y = 2x\). Решив уравнение \(2x^2 = 2x\), т. е. \(2x(x - 1) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 1\). При \(x \in [0;\ 1]\) выполняется неравенство \(2x - 2x^2 = 2x(1 - x) \geqslant 0\), т. е. прямая лежит не ниже параболы.
\[S = \int\limits_{0}^{1} (2x - 2x^2)\,dx = \left(x^2 - \frac{2x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.\]

3) Фигура ограничена графиком функции \(y = e^x\) и прямыми \(y = 1\), \(x = 2\). Из уравнения \(e^x = 1\) находим \(x = 0\) — абсциссу точки пересечения графика с прямой \(y = 1\); значит, фигура расположена на отрезке \([0;\ 2]\). Функция \(y = e^x\) возрастает, поэтому при \(x \in [0;\ 2]\) выполняется неравенство \(e^x \geqslant e^0 = 1\), т. е. график лежит не ниже прямой \(y = 1\).
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{0}^{2} (e^x - 1)\,dx = (e^x - x)\Big|_{0}^{2} = {} \\ &= (e^2 - 2) - (e^0 - 0) = e^2 - 3. \end{aligned}\]

4) Фигура ограничена гиперболой \(y = \frac{4}{x}\) и прямыми \(y = 1\), \(x = 1\). Из уравнения \(\frac{4}{x} = 1\) находим \(x = 4\) — абсциссу точки пересечения гиперболы с прямой \(y = 1\); значит, фигура расположена на отрезке \([1;\ 4]\). При \(x \in [1;\ 4]\) выполняется неравенство \(\frac{4}{x} \geqslant 1\), т. е. гипербола лежит не ниже прямой \(y = 1\). Функция \(y = 4\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{4}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежит этот отрезок.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{4} \left(\frac{4}{x} - 1\right)dx = (4\ln x - x)\Big|_{1}^{4} = {} \\ &= (4\ln 4 - 4) - (4\ln 1 - 1) = 4\ln 4 - 3. \end{aligned}\]

5) Фигура ограничена гиперболой \(y = \frac{4}{x}\) и прямыми \(y = 4\), \(x = 4\). Из уравнения \(\frac{4}{x} = 4\) находим \(x = 1\) — абсциссу точки пересечения гиперболы с прямой \(y = 4\); значит, фигура расположена на отрезке \([1;\ 4]\). При \(x \in [1;\ 4]\) выполняется неравенство \(\frac{4}{x} \leqslant 4\), т. е. прямая \(y = 4\) лежит не ниже гиперболы. Функция \(y = 4\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{4}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежит этот отрезок.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{4} \left(4 - \frac{4}{x}\right)dx = (4x - 4\ln x)\Big|_{1}^{4} = {} \\ &= (16 - 4\ln 4) - (4 - 4\ln 1) = 12 - 4\ln 4. \end{aligned}\]

6) Фигура ограничена параболой \(y = x^2 - 4x + 5\) и прямой \(y = 5\). Решив уравнение \(x^2 - 4x + 5 = 5\), т. е. \(x(x - 4) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 4\). При \(x \in [0;\ 4]\) выполняется неравенство \(5 - (x^2 - 4x + 5) = x(4 - x) \geqslant 0\), т. е. прямая лежит не ниже параболы.
\[S = \int\limits_{0}^{4} (4x - x^2)\,dx = \left(2x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{4} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}.\]

7) Фигура ограничена параболой \(y = 2 + x - x^2\) и прямой \(y = 2 - x\). Решив уравнение \(2 + x - x^2 = 2 - x\), т. е. \(x(2 - x) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 2\). При \(x \in [0;\ 2]\) выполняется неравенство \((2 + x - x^2) - (2 - x) = x(2 - x) \geqslant 0\), т. е. парабола лежит не ниже прямой.
\[S = \int\limits_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx = \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.\]

8) Фигура ограничена параболой \(y = x^2 + 2\) и прямой \(y = x + 4\). Решив уравнение \(x^2 + 2 = x + 4\), т. е. \(x^2 - x - 2 = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = -1\) и \(x = 2\). При \(x \in [-1;\ 2]\) выполняется неравенство \((x + 4) - (x^2 + 2) = (x + 1)(2 - x) \geqslant 0\), т. е. прямая лежит не ниже параболы.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\,dx = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_{-1}^{2} = {} \\ &= \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = 4{,}5. \end{aligned}\]

9) Фигура ограничена параболой \(y = x^2 + 2x + 1\) и прямой \(y = x + 3\). Решив уравнение \(x^2 + 2x + 1 = x + 3\), т. е. \(x^2 + x - 2 = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = -2\) и \(x = 1\). При \(x \in [-2;\ 1]\) выполняется неравенство \((x + 3) - (x^2 + 2x + 1) = (x + 2)(1 - x) \geqslant 0\), т. е. прямая лежит не ниже параболы.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)\,dx = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_{-2}^{1} = {} \\ &= \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = 4{,}5. \end{aligned}\]

10) Фигура ограничена параболами \(y = -x^2 + 2x\) и \(y = x^2\). Решив уравнение \(-x^2 + 2x = x^2\), т. е. \(2x(1 - x) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 1\). При \(x \in [0;\ 1]\) выполняется неравенство \((-x^2 + 2x) - x^2 = 2x(1 - x) \geqslant 0\), т. е. парабола \(y = -x^2 + 2x\) лежит не ниже параболы \(y = x^2\).
\[S = \int\limits_{0}^{1} (2x - 2x^2)\,dx = \left(x^2 - \frac{2x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.\]

11) Фигура ограничена графиками функций \(y = x^3\) и \(y = x^2\). Решив уравнение \(x^3 = x^2\), т. е. \(x^2(x - 1) = 0\), устанавливаем, что графики пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 1\). При \(x \in [0;\ 1]\) выполняется неравенство \(x^2 - x^3 = x^2(1 - x) \geqslant 0\), т. е. график функции \(y = x^2\) лежит не ниже графика функции \(y = x^3\).
\[S = \int\limits_{0}^{1} (x^2 - x^3)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.\]

12) Фигура ограничена графиком функции \(y = e^x\) и прямыми \(y = e\), \(x = 0\). Из уравнения \(e^x = e\) находим \(x = 1\) — абсциссу точки пересечения графика с прямой \(y = e\); значит, фигура расположена на отрезке \([0;\ 1]\). Функция \(y = e^x\) возрастает, поэтому при \(x \in [0;\ 1]\) выполняется неравенство \(e^x \leqslant e^1 = e\), т. е. прямая \(y = e\) лежит не ниже графика.
\[S = \int\limits_{0}^{1} (e - e^x)\,dx = (ex - e^x)\Big|_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1.\]

13) Фигура ограничена гиперболой \(y = \frac{7}{x}\) и прямой \(x + y = 8\), т. е. \(y = 8 - x\). Решив уравнение \(\frac{7}{x} = 8 - x\), т. е. \(x^2 - 8x + 7 = 0\) при \(x \ne 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 1\) и \(x = 7\). При \(x \in [1;\ 7]\) выполняется неравенство \((8 - x) - \frac{7}{x} = \frac{(x - 1)(7 - x)}{x} \geqslant 0\), т. е. прямая лежит не ниже гиперболы. Функция \(y = 7\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{7}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежит отрезок \([1;\ 7]\).
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{7} \left(8 - x - \frac{7}{x}\right)dx = \left(8x - \frac{x^2}{2} - 7\ln x\right)\Big|_{1}^{7} = {} \\ &= \left(56 - \frac{49}{2} - 7\ln 7\right) - \left(8 - \frac{1}{2} - 7\ln 1\right) = 24 - 7\ln 7. \end{aligned}\]

14) Фигура ограничена графиком функции \(y = \frac{2}{x^2}\) и прямыми \(y = 2x\), \(x = 2\). Решив уравнение \(\frac{2}{x^2} = 2x\), т. е. \(x^3 = 1\) при \(x \ne 0\), находим \(x = 1\) — абсциссу точки пересечения графика с прямой \(y = 2x\); значит, фигура расположена на отрезке \([1;\ 2]\). При \(x \in [1;\ 2]\) выполняется неравенство \(2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2} \geqslant 0\), т. е. прямая \(y = 2x\) лежит не ниже графика функции \(y = \frac{2}{x^2}\). Функция \(y = -\frac{2}{x}\) — первообразная функции \(y = \frac{2}{x^2}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежит этот отрезок.
\[S = \int\limits_{1}^{2} \left(2x - \frac{2}{x^2}\right)dx = \left(x^2 + \frac{2}{x}\right)\Big|_{1}^{2} = (4 + 1) - (1 + 2) = 2.\]

15) Фигура ограничена графиками функций \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) и прямыми \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{4}\). На отрезке \(\left[0;\ \frac{\pi}{4}\right]\) функция \(y = \cos x\) убывает, а функция \(y = \sin x\) возрастает, поэтому \(\cos x \geqslant \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4} \geqslant \sin x\), т. е. график функции \(y = \cos x\) лежит не ниже графика функции \(y = \sin x\).
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x)\,dx = (\sin x + \cos x)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = {} \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\frac{32}{3}\); 2) \(\frac{1}{3}\); 3) \(e^2 - 3\); 4) \(4\ln 4 - 3\); 5) \(12 - 4\ln 4\); 6) \(\frac{32}{3}\); 7) \(\frac{4}{3}\); 8) \(4{,}5\); 9) \(4{,}5\); 10) \(\frac{1}{3}\); 11) \(\frac{1}{12}\); 12) 1; 13) \(24 - 7\ln 7\); 14) 2; 15) \(\sqrt{2} - 1\).