Страница 107 номер 11.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Если функции \(f\) и \(g\) непрерывны на отрезке \([a;\ b]\) и \(f(x) \geqslant g(x)\) при всех \(x \in [a;\ b]\), то площадь фигуры, ограниченной их графиками и прямыми \(x = a\), \(x = b\), равна \[S = \int\limits_{a}^{b} (f(x) - g(x))\,dx.\]

1) Фигура ограничена графиком функции \(y = x^3\) и прямыми \(y = 8\), \(x = 1\). Из уравнения \(x^3 = 8\) находим \(x = 2\) — абсциссу точки пересечения графика с прямой \(y = 8\); значит, фигура расположена на отрезке \([1;\ 2]\). Функция \(y = x^3\) возрастает, поэтому при \(x \in [1;\ 2]\) выполняется неравенство \(x^3 \leqslant 2^3 = 8\), т. е. прямая \(y = 8\) лежит не ниже графика.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{2} (8 - x^3)\,dx = \left(8x - \frac{x^4}{4}\right)\Big|_{1}^{2} = {} \\ &= (16 - 4) - \left(8 - \frac{1}{4}\right) = 12 - \frac{31}{4} = \frac{17}{4}. \end{aligned}\]

2) Фигура ограничена параболой \(y = 0{,}5x^2\) и прямой \(y = -x\). Решив уравнение \(0{,}5x^2 = -x\), т. е. \(0{,}5x(x + 2) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = -2\) и \(x = 0\). При \(x \in [-2;\ 0]\) выполняется неравенство \(-x - 0{,}5x^2 = -0{,}5x(x + 2) \geqslant 0\) (множители \(-0{,}5x\) и \(x + 2\) неотрицательны), т. е. прямая лежит не ниже параболы.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-2}^{0} (-x - 0{,}5x^2)\,dx = \left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}\right)\Big|_{-2}^{0} = {} \\ &= 0 - \left(-2 + \frac{8}{6}\right) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]

3) Фигура ограничена параболой \(y = 4 - x^2\) и прямой \(y = 3\). Решив уравнение \(4 - x^2 = 3\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = -1\) и \(x = 1\). При \(x \in [-1;\ 1]\) выполняется неравенство \((4 - x^2) - 3 = (1 - x)(1 + x) \geqslant 0\), т. е. парабола лежит не ниже прямой.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left(x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{1} = {} \\ &= \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}. \end{aligned}\]

4) Фигура ограничена параболой \(y = 6 + x - x^2\) и прямой \(y = 6 - 2x\). Решив уравнение \(6 + x - x^2 = 6 - 2x\), т. е. \(x(3 - x) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 3\). При \(x \in [0;\ 3]\) выполняется неравенство \((6 + x - x^2) - (6 - 2x) = x(3 - x) \geqslant 0\), т. е. парабола лежит не ниже прямой.
\[S = \int\limits_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx = \left(\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{3} = \frac{27}{2} - 9 = 4{,}5.\]

5) Фигура ограничена параболами \(y = x^2 - 4x + 4\) и \(y = 4 - x^2\). Решив уравнение \(x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2\), т. е. \(2x(x - 2) = 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 0\) и \(x = 2\). При \(x \in [0;\ 2]\) выполняется неравенство \((4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4) = 2x(2 - x) \geqslant 0\), т. е. парабола \(y = 4 - x^2\) лежит не ниже параболы \(y = x^2 - 4x + 4\).
\[S = \int\limits_{0}^{2} (4x - 2x^2)\,dx = \left(2x^2 - \frac{2x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{2} = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}.\]

6) Фигура ограничена гиперболой \(y = \frac{3}{x}\) и прямыми \(y = 3\), \(x = 3\). Из уравнения \(\frac{3}{x} = 3\) находим \(x = 1\) — абсциссу точки пересечения гиперболы с прямой \(y = 3\); значит, фигура расположена на отрезке \([1;\ 3]\). При \(x \in [1;\ 3]\) выполняется неравенство \(\frac{3}{x} \leqslant 3\), т. е. прямая \(y = 3\) лежит не ниже гиперболы. Функция \(y = 3\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{3}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежит этот отрезок.
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{3} \left(3 - \frac{3}{x}\right)dx = (3x - 3\ln x)\Big|_{1}^{3} = {} \\ &= (9 - 3\ln 3) - (3 - 3\ln 1) = 6 - 3\ln 3. \end{aligned}\]

7) Фигура ограничена графиком функции \(y = e^{-x}\) и прямыми \(y = e\), \(x = 0\). Из уравнения \(e^{-x} = e\) находим \(x = -1\) — абсциссу точки пересечения графика с прямой \(y = e\); значит, фигура расположена на отрезке \([-1;\ 0]\). Функция \(y = e^{-x}\) убывает, поэтому при \(x \in [-1;\ 0]\) выполняется неравенство \(e^{-x} \leqslant e^{1} = e\), т. е. прямая \(y = e\) лежит не ниже графика. Функция \(y = -e^{-x}\) — первообразная функции \(y = e^{-x}\).
\[S = \int\limits_{-1}^{0} (e - e^{-x})\,dx = (ex + e^{-x})\Big|_{-1}^{0} = (0 + 1) - (-e + e) = 1.\]

8) Фигура ограничена гиперболой \(y = \frac{5}{x}\) и прямой \(x + y = 6\), т. е. \(y = 6 - x\). Решив уравнение \(\frac{5}{x} = 6 - x\), т. е. \(x^2 - 6x + 5 = 0\) при \(x \ne 0\), устанавливаем, что они пересекаются в точках с абсциссами \(x = 1\) и \(x = 5\). При \(x \in [1;\ 5]\) выполняется неравенство \((6 - x) - \frac{5}{x} = \frac{(x - 1)(5 - x)}{x} \geqslant 0\), т. е. прямая лежит не ниже гиперболы. Функция \(y = 5\ln x\) — первообразная функции \(y = \frac{5}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\), которому принадлежит отрезок \([1;\ 5]\).
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{5} \left(6 - x - \frac{5}{x}\right)dx = \left(6x - \frac{x^2}{2} - 5\ln x\right)\Big|_{1}^{5} = {} \\ &= \left(30 - \frac{25}{2} - 5\ln 5\right) - \left(6 - \frac{1}{2} - 5\ln 1\right) = 12 - 5\ln 5. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\frac{17}{4}\); 2) \(\frac{2}{3}\); 3) \(\frac{4}{3}\); 4) \(4{,}5\); 5) \(\frac{8}{3}\); 6) \(6 - 3\ln 3\); 7) 1; 8) \(12 - 5\ln 5\).