Страница 109 номер 11.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Функция задана формулой \(y = x + 3\) при \(x < -1\) и формулой \(y = x^2 + 1\) при \(x \geqslant -1\); фигура ограничена её графиком и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\), \(x = 0\). При \(x = -1\) обе формулы дают \(-1 + 3 = 2\) и \((-1)^2 + 1 = 2\), поэтому функция непрерывна на отрезке \([-2;\ 0]\). На этом отрезке она положительна: \(x + 3 \geqslant 1\) при \(-2 \leqslant x \leqslant -1\) и \(x^2 + 1 \geqslant 1\). Прямая \(x = -1\) делит фигуру на две криволинейные трапеции, их площади:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-2}^{-1} (x + 3)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 3x\right)\Big|_{-2}^{-1} = \left(\frac{1}{2} - 3\right) - (2 - 6) = \frac{3}{2}; \\ S_2 &= \int\limits_{-1}^{0} \left(x^2 + 1\right)dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{4}{3}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{17}{6}\).
2) Функция задана формулой \(y = x + 2\) при \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) и формулой \(y = 2\cos 2x\) при \(0 < x \leqslant \frac{\pi}{4}\); фигура ограничена её графиком и прямой \(y = 0\). Функция непрерывна на отрезке \(\left[-2;\ \frac{\pi}{4}\right]\): значение \(0 + 2 = 2\) при \(x = 0\) совпадает со значением выражения \(2\cos 2x\) при \(x = 0\). На концах отрезка функция равна нулю: \(-2 + 2 = 0\) и \(2\cos\frac{\pi}{2} = 0\), а внутри отрезка положительна: \(x + 2 > 0\) при \(-2 < x \leqslant 0\) и \(2\cos 2x > 0\) при \(0 < x < \frac{\pi}{4}\), так как тогда \(0 < 2x < \frac{\pi}{2}\). Поэтому график функции и прямая \(y = 0\) ограничивают криволинейную трапецию на отрезке \(\left[-2;\ \frac{\pi}{4}\right]\), а ось ординат делит её на две части:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-2}^{0} (x + 2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_{-2}^{0} = 0 - (2 - 4) = 2; \\ S_2 &= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cos 2x\,dx = \sin 2x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = 2 + 1 = 3\).
Ответ: 1) \(\frac{17}{6}\); 2) 3.
1) Функция задана формулой \(y = x + 3\) при \(x < -1\) и формулой \(y = x^2 + 1\) при \(x \geqslant -1\); фигура ограничена её графиком и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\), \(x = 0\). При \(x = -1\) обе формулы дают одно и то же значение: \(-1 + 3 = 2\) и \((-1)^2 + 1 = 2\), поэтому функция непрерывна на отрезке \([-2;\ 0]\). На этом отрезке она положительна: \(x + 3 \geqslant 1\) при \(-2 \leqslant x \leqslant -1\) и \(x^2 + 1 \geqslant 1\). Прямая \(x = -1\) делит фигуру на две криволинейные трапеции: под графиком функции \(y = x + 3\) на отрезке \([-2;\ -1]\) и под графиком функции \(y = x^2 + 1\) на отрезке \([-1;\ 0]\). Их площади:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-2}^{-1} (x + 3)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 3x\right)\Big|_{-2}^{-1} = \left(\frac{1}{2} - 3\right) - (2 - 6) = \frac{3}{2}; \\ S_2 &= \int\limits_{-1}^{0} \left(x^2 + 1\right)dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{4}{3}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{17}{6}\).
2) Функция задана формулой \(y = x + 2\) при \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) и формулой \(y = 2\cos 2x\) при \(0 < x \leqslant \frac{\pi}{4}\); фигура ограничена её графиком и прямой \(y = 0\). Функция определена на отрезке \(\left[-2;\ \frac{\pi}{4}\right]\) и непрерывна на нём: значение \(0 + 2 = 2\) при \(x = 0\) совпадает со значением выражения \(2\cos 2x\) при \(x = 0\). На концах отрезка функция равна нулю: \(-2 + 2 = 0\) и \(2\cos\frac{\pi}{2} = 0\), а внутри отрезка положительна: \(x + 2 > 0\) при \(-2 < x \leqslant 0\) и \(2\cos 2x > 0\) при \(0 < x < \frac{\pi}{4}\), так как тогда \(0 < 2x < \frac{\pi}{2}\). Поэтому график функции и прямая \(y = 0\) ограничивают криволинейную трапецию на отрезке \(\left[-2;\ \frac{\pi}{4}\right]\), а ось ординат делит её на две части. По правилу нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) функция \(y = \sin 2x\) — первообразная функции \(y = 2\cos 2x\). Площади частей:
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-2}^{0} (x + 2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_{-2}^{0} = 0 - (2 - 4) = 2; \\ S_2 &= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cos 2x\,dx = \sin 2x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 + S_2 = 2 + 1 = 3\).
Ответ: 1) \(\frac{17}{6}\); 2) 3.
