Страница 107 номер 11.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях \(a\) площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 2x^3\), \(y = 0\) и \(x = a\), равна 8?
Функция \(y = 2x^3\) непрерывна, её график имеет с прямой \(y = 0\) единственную общую точку \((0;\ 0)\). При \(a = 0\) линии фигуры не ограничивают, поэтому \(a \ne 0\), и фигура ограничена графиком функции \(y = 2x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = a\).
Пусть \(a > 0\). Тогда фигура — криволинейная трапеция на отрезке \([0;\ a]\), на котором \(2x^3 \geqslant 0\).
\[S = \int\limits_{0}^{a} 2x^3\,dx = \frac{x^4}{2}\Big|_{0}^{a} = \frac{a^4}{2}.\]
Из условия \(\frac{a^4}{2} = 8\) получаем \(a^4 = 16\), откуда с учётом \(a > 0\) находим \(a = 2\).
Пусть \(a < 0\). Тогда фигура расположена на отрезке \([a;\ 0]\) ниже оси абсцисс: сверху её ограничивает прямая \(y = 0\), снизу — график функции \(y = 2x^3\).
На этом отрезке \(0 \geqslant 2x^3\), поэтому
\[S = \int\limits_{a}^{0} (0 - 2x^3)\,dx = -\frac{x^4}{2}\Big|_{a}^{0} = \frac{a^4}{2}.\]
Из условия \(\frac{a^4}{2} = 8\) получаем \(a^4 = 16\), откуда с учётом \(a < 0\) находим \(a = -2\).
Ответ: при \(a = -2\) и при \(a = 2\).
При каких значениях \(a\) площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 2x^3\), \(y = 0\) и \(x = a\), равна 8?
Функция \(y = 2x^3\) непрерывна, её график имеет с прямой \(y = 0\) единственную общую точку \((0;\ 0)\); при \(x \geqslant 0\) выполняется неравенство \(2x^3 \geqslant 0\), а при \(x \leqslant 0\) — неравенство \(2x^3 \leqslant 0\). При \(a = 0\) линии фигуры не ограничивают, поэтому \(a \ne 0\), и фигура ограничена графиком функции \(y = 2x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 0\) и \(x = a\).
Пусть \(a > 0\). Тогда фигура — криволинейная трапеция на отрезке \([0;\ a]\), на котором \(2x^3 \geqslant 0\).
\[S = \int\limits_{0}^{a} 2x^3\,dx = \frac{x^4}{2}\Big|_{0}^{a} = \frac{a^4}{2}.\]
Из условия \(\frac{a^4}{2} = 8\) получаем \(a^4 = 16\), откуда с учётом \(a > 0\) находим \(a = 2\).
Пусть \(a < 0\). Тогда фигура расположена на отрезке \([a;\ 0]\) ниже оси абсцисс: сверху её ограничивает прямая \(y = 0\), снизу — график функции \(y = 2x^3\).
Функции \(y = 0\) и \(y = 2x^3\) непрерывны на отрезке \([a;\ 0]\) и \(0 \geqslant 2x^3\) при всех \(x\) из этого отрезка, поэтому
\[S = \int\limits_{a}^{0} (0 - 2x^3)\,dx = -\frac{x^4}{2}\Big|_{a}^{0} = \frac{a^4}{2}.\]
Из условия \(\frac{a^4}{2} = 8\) получаем \(a^4 = 16\), откуда с учётом \(a < 0\) находим \(a = -2\).
Ответ: при \(a = -2\) и при \(a = 2\).
