Страница 107 номер 11.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каком значении \(a\) прямая \(x = a\) разбивает фигуру, ограниченную графиком функции \(y = -x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\), на две равновеликие фигуры?
График функции \(y = -x^3\) пересекает прямую \(y = 0\) только в точке \((0;\ 0)\), а на отрезке \([-2;\ 0]\) эта функция непрерывна и неотрицательна, поэтому данная фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции \(y = -x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\), \(x = 0\). Прямая \(x = a\) разбивает её на две фигуры, только если \(-2 < a < 0\); это криволинейные трапеции на отрезках \([-2;\ a]\) и \([a;\ 0]\) с площадями \(S_1\) и \(S_2\).
Функция \(y = -\frac{x^4}{4}\) — первообразная функции \(y = -x^3\), поэтому
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-2}^{a} (-x^3)\,dx = -\frac{x^4}{4}\Big|_{-2}^{a} = -\frac{a^4}{4} + 4; \\ S_2 &= \int\limits_{a}^{0} (-x^3)\,dx = -\frac{x^4}{4}\Big|_{a}^{0} = \frac{a^4}{4}. \end{aligned}\]
Фигуры равновелики при \(S_1 = S_2\): \[\begin{aligned} 4 - \frac{a^4}{4} &= \frac{a^4}{4}; \\ \frac{a^4}{2} &= 4; \qquad | \cdot 2 \\ a^4 &= 8. \end{aligned}\]
Отсюда \(a = -\sqrt[4]{8}\) или \(a = \sqrt[4]{8}\). Поскольку \(0 < \sqrt[4]{8} < \sqrt[4]{16} = 2\), условию \(-2 < a < 0\) удовлетворяет только \(a = -\sqrt[4]{8}\).
Ответ: при \(a = -\sqrt[4]{8}\).
При каком значении \(a\) прямая \(x = a\) разбивает фигуру, ограниченную графиком функции \(y = -x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\), на две равновеликие фигуры?
График функции \(y = -x^3\) пересекает прямую \(y = 0\) только в точке \((0;\ 0)\), а на отрезке \([-2;\ 0]\) эта функция непрерывна и неотрицательна. Значит, данная фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции \(y = -x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\) и \(x = 0\). Прямая \(x = a\) разбивает её на две фигуры, только если \(-2 < a < 0\); тогда это криволинейные трапеции на отрезках \([-2;\ a]\) и \([a;\ 0]\). Обозначим их площади \(S_1\) и \(S_2\).
Функция \(y = -\frac{x^4}{4}\) — первообразная функции \(y = -x^3\), поэтому
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{-2}^{a} (-x^3)\,dx = -\frac{x^4}{4}\Big|_{-2}^{a} = -\frac{a^4}{4} + 4; \\ S_2 &= \int\limits_{a}^{0} (-x^3)\,dx = -\frac{x^4}{4}\Big|_{a}^{0} = \frac{a^4}{4}. \end{aligned}\]
Фигуры равновелики, т. е. имеют равные площади, тогда и только тогда, когда \(S_1 = S_2\): \[\begin{aligned} 4 - \frac{a^4}{4} &= \frac{a^4}{4}; \\ \frac{a^4}{2} &= 4; \qquad | \cdot 2 \\ a^4 &= 8. \end{aligned}\]
Отсюда \(a = -\sqrt[4]{8}\) или \(a = \sqrt[4]{8}\). Поскольку \(0 < \sqrt[4]{8} < \sqrt[4]{16} = 2\), условию \(-2 < a < 0\) удовлетворяет только \(a = -\sqrt[4]{8}\).
Ответ: при \(a = -\sqrt[4]{8}\).
