Страница 109 номер 11.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Функция \(y = \sqrt{25 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-5;\ 5]\); её график (\(y \geqslant 0\), \(x^2 + y^2 = 25\)) — верхняя полуокружность радиуса 5 с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \([-5;\ 5]\) — полукруг радиуса 5, поэтому
\[\int\limits_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{2}.\]
2) Функция \(y = \sqrt{12 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \(\left[-2\sqrt{3};\ 2\sqrt{3}\right]\); её график (\(y \geqslant 0\), \(x^2 + y^2 = 12\)) — верхняя полуокружность радиуса \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \(\left[0;\ 2\sqrt{3}\right]\) — четверть круга радиуса \(2\sqrt{3}\), поэтому
\[\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^2}\,dx = \frac{1}{4}\pi \cdot \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 3\pi.\]
3) \(6x - x^2 - 5 = 4 - (x - 3)^2\). График функции \(y = \sqrt{4 - (x - 3)^2}\) (\(y \geqslant 0\), \((x - 3)^2 + y^2 = 4\)) — верхняя полуокружность радиуса 2 с центром в точке \((3;\ 0)\); функция непрерывна и неотрицательна на отрезке \([1;\ 5]\). Криволинейная трапеция на всём этом отрезке — полукруг радиуса 2, поэтому
\[\int\limits_{1}^{5} \sqrt{6x - x^2 - 5}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 2^2 = 2\pi.\]
4) Функция \(y = |x + 1|\) непрерывна и неотрицательна. Прямая \(x = -1\) делит криволинейную трапецию на отрезке \([-2;\ 2]\) на два прямоугольных равнобедренных треугольника: площадью \(S_1\) с катетами 1 и площадью \(S_2\) с катетами 3, поэтому
\[\int\limits_{-2}^{2} |x + 1|\,dx = S_1 + S_2 = \frac{1 \cdot 1}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5.\]
Ответ: 1) \(\frac{25\pi}{2}\); 2) \(3\pi\); 3) \(2\pi\); 4) 5.
Если функция \(f\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([a;\ b]\), то интеграл \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f\) и прямыми \(y = 0\), \(x = a\), \(x = b\). В каждом пункте найдём интеграл как площадь такой фигуры.
1) Функция \(y = \sqrt{25 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([-5;\ 5]\). Её график задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \(x^2 + y^2 = 25\) — это верхняя полуокружность радиуса 5 с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \([-5;\ 5]\) — полукруг радиуса 5, поэтому
\[\int\limits_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{2}.\]
2) Функция \(y = \sqrt{12 - x^2}\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \(\left[-2\sqrt{3};\ 2\sqrt{3}\right]\). Её график задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \(x^2 + y^2 = 12\) — это верхняя полуокружность радиуса \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) с центром в начале координат. Криволинейная трапеция на отрезке \(\left[0;\ 2\sqrt{3}\right]\) — четверть круга радиуса \(2\sqrt{3}\), поэтому
\[\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^2}\,dx = \frac{1}{4}\pi \cdot \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 3\pi.\]
3) Выделим полный квадрат: \(6x - x^2 - 5 = 4 - (x - 3)^2\). График функции \(y = \sqrt{4 - (x - 3)^2}\) задаётся условиями \(y \geqslant 0\) и \((x - 3)^2 + y^2 = 4\) — это верхняя полуокружность радиуса 2 с центром в точке \((3;\ 0)\); функция непрерывна и неотрицательна на отрезке \([1;\ 5]\). Криволинейная трапеция на всём этом отрезке — полукруг радиуса 2, поэтому
\[\int\limits_{1}^{5} \sqrt{6x - x^2 - 5}\,dx = \frac{1}{2}\pi \cdot 2^2 = 2\pi.\]
4) Функция \(y = |x + 1|\) непрерывна и неотрицательна. Прямая \(x = -1\) делит криволинейную трапецию на отрезке \([-2;\ 2]\) на два прямоугольных равнобедренных треугольника: площадью \(S_1\) с катетами 1 (вершины \((-2;\ 0)\), \((-1;\ 0)\), \((-2;\ 1)\)) и площадью \(S_2\) с катетами 3 (вершины \((-1;\ 0)\), \((2;\ 0)\), \((2;\ 3)\)). Поэтому
\[\int\limits_{-2}^{2} |x + 1|\,dx = S_1 + S_2 = \frac{1 \cdot 1}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5.\]
Ответ: 1) \(\frac{25\pi}{2}\); 2) \(3\pi\); 3) \(2\pi\); 4) 5.
