Страница 107 номер 11.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каком положительном значении \(a\) определённый интеграл \(\int\limits_{0}^{a} (6 - 2x)\,dx\) принимает наибольшее значение?
\[\int\limits_{0}^{a} (6 - 2x)\,dx = (6x - x^2)\Big|_{0}^{a} = 6a - a^2.\]
\(6a - a^2 = 9 - (a - 3)^2\); так как \((a - 3)^2 \geqslant 0\), при всех \(a\) выполняется неравенство \(6a - a^2 \leqslant 9\), причём равенство достигается только при \(a = 3\). Число 3 положительно, поэтому наибольшее значение интеграла, равное 9, достигается при \(a = 3\).
Ответ: при \(a = 3\).
При каком положительном значении \(a\) определённый интеграл \(\int\limits_{0}^{a} (6 - 2x)\,dx\) принимает наибольшее значение?
При \(a > 0\) имеем: \[\int\limits_{0}^{a} (6 - 2x)\,dx = (6x - x^2)\Big|_{0}^{a} = 6a - a^2.\]
Выделим полный квадрат: \(6a - a^2 = 9 - (a - 3)^2\). Поскольку \((a - 3)^2 \geqslant 0\), при всех \(a\) выполняется неравенство \(6a - a^2 \leqslant 9\), причём равенство достигается только при \(a = 3\). Число 3 положительно, поэтому наибольшее значение интеграла, равное 9, достигается при \(a = 3\).
Ответ: при \(a = 3\).
