Страница 126 номер 13.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что равенство \(\overline{z} = z\) справедливо тогда и только тогда, когда \(z\) — действительное число.
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = a - bi\). Действительные части чисел \(\overline{z}\) и \(z\) обе равны \(a\), поэтому равенство \(\overline{z} = z\) выполняется тогда и только тогда, когда равны мнимые части: \(-b = b\), то есть \(b = 0\).
Если \(\overline{z} = z\), то \(b = 0\) и \(z = a\) — действительное число. Обратно, если \(z\) — действительное число, то \(z = a + 0i\) и \(\overline{z} = a - 0i = a = z\).
Ответ: доказано: равенство \(\overline{z} = z\) выполняется тогда и только тогда, когда \(\operatorname{Im} z = 0\), т. е. когда \(z\) — действительное число.
Докажите, что равенство \(\overline{z} = z\) справедливо тогда и только тогда, когда \(z\) — действительное число.
Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = a - bi\). Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части. Действительные части чисел \(\overline{z}\) и \(z\) обе равны \(a\), поэтому равенство \(\overline{z} = z\) выполняется тогда и только тогда, когда равны мнимые части: \(-b = b\), т. е. \(b = 0\).
Если \(\overline{z} = z\), то \(b = 0\) и \(z = a\) — действительное число. Обратно, если \(z\) — действительное число, то \(z = a + 0i\), т. е. \(b = 0\), и \(\overline{z} = a - 0i = a = z\).
Ответ: доказано: равенство \(\overline{z} = z\) выполняется тогда и только тогда, когда \(\operatorname{Im} z = 0\), т. е. когда \(z\) — действительное число.
