Страница 108 номер 11.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4}\right]\) выполняется неравенство \(\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{x}{5} \leqslant \frac{3\pi}{4}\), поэтому \(\sin\frac{x}{5} \ne 0\) и \(\operatorname{ctg}^2\frac{x}{5} = \frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}} - 1\). Функция \(y = -\operatorname{ctg} x\) — первообразная функции \(y = \frac{1}{\sin^2 x}\) на промежутке \((0;\ \pi)\), поэтому по правилу нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) функция \(y = -5\operatorname{ctg}\frac{x}{5}\) — первообразная функции \(y = \frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}}\) на промежутке \((0;\ 5\pi)\), который содержит отрезок интегрирования. Имеем:

\[\begin{aligned} &\int\limits_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} \operatorname{ctg}^2\frac{x}{5}\,dx = \int\limits_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} \left(\frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}} - 1\right)dx = {} \\ &= \left(-5\operatorname{ctg}\frac{x}{5} - x\right)\Big|_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} = {} \\ &= \left(-5\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} - \frac{15\pi}{4}\right) - \left(-5\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4}\right) = {} \\ &= 5 - \frac{15\pi}{4} + 5 + \frac{5\pi}{4} = 10 - \frac{5\pi}{2} = \frac{20 - 5\pi}{2}. \end{aligned}\]

2) По формуле понижения степени \(\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}\). По правилу нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) функция \(y = \frac{1}{4}\sin 4x\) — первообразная функции \(y = \cos 4x\). Имеем:

\[\begin{aligned} &\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x\,dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x\right)dx = {} \\ &= \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x\right)\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = {} \\ &= \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{8}\sin 2\pi\right) - \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{1}{8}\sin(-2\pi)\right) = \frac{\pi}{2}. \end{aligned}\]

3) Произведение преобразуем в сумму: \(\sin 7x\cos 3x = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x)\). По правилу нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) функции \(y = -\frac{1}{10}\cos 10x\) и \(y = -\frac{1}{4}\cos 4x\) — первообразные функций \(y = \sin 10x\) и \(y = \sin 4x\). Имеем:

\[\begin{aligned} &\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \sin 7x\cos 3x\,dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x)\,dx = {} \\ &= \left(-\frac{1}{20}\cos 10x - \frac{1}{8}\cos 4x\right)\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} = {} \\ &= \left(-\frac{1}{20}\cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) - \frac{1}{8}\cos(-\pi)\right) - \left(-\frac{1}{20}\cos(-5\pi) - \frac{1}{8}\cos(-2\pi)\right) = {} \\ &= \left(0 + \frac{1}{8}\right) - \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{1}{5}. \end{aligned}\]

4) Разделим числитель почленно на знаменатель: \(\frac{x^2 - e^{x}}{x^2 e^{x}} = \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{x^2} = e^{-x} - \frac{1}{x^2}\). На промежутке \((-\infty;\ 0)\), который содержит отрезок \([-2;\ -1]\), первообразная функции \(y = \frac{1}{x^2}\) — функция \(y = -\frac{1}{x}\), так как \(\left(-\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{x^2}\); по правилу нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) при \(k = -1\) первообразная функции \(y = e^{-x}\) — функция \(y = -e^{-x}\). Имеем:

\[\begin{aligned} &\int\limits_{-2}^{-1} \frac{x^2 - e^{x}}{x^2 e^{x}}\,dx = \int\limits_{-2}^{-1} \left(e^{-x} - \frac{1}{x^2}\right)dx = {} \\ &= \left(-e^{-x} + \frac{1}{x}\right)\Big|_{-2}^{-1} = (-e - 1) - \left(-e^2 - \frac{1}{2}\right) = e^2 - e - \frac{1}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\frac{20 - 5\pi}{2}\); 2) \(\frac{\pi}{2}\); 3) \(\frac{1}{5}\); 4) \(e^2 - e - \frac{1}{2}\).