Вопросы после параграфа §13 на странице 125, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Комплексным числом называют вектор \(\overrightarrow{OZ}\), где \(O\) — начало координат, \(Z\) — произвольная точка плоскости. Комплексное число обозначают буквой \(z\) и пишут: \(z = \overrightarrow{OZ}\). Множество всех комплексных чисел обозначают \(\mathbf{C}\).

Действительное число \(x\) отождествляют с вектором \(\overrightarrow{OZ}\) с координатами \((x;\ 0)\), поэтому \(\mathbf{R} \subset \mathbf{C}\). Например, вектор с координатами \((1;\ 0)\) — это действительное число \(1\), а вектору с координатами \((0;\ 1)\) не соответствует ни одно действительное число: это комплексное число \(i\), его называют мнимой единицей.

Ответ: комплексным числом называют вектор \(\overrightarrow{OZ}\), где \(O\) — начало координат, \(Z\) — произвольная точка плоскости.

Векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) с координатами \((1;\ 0)\) и \((0;\ 1)\) — это комплексные числа \(1\) и \(i\). Они неколлинеарны, поэтому для любого комплексного числа \(z = \overrightarrow{OZ}\) существует единственная пара действительных чисел \((a;\ b)\) — координаты точки \(Z\), — для которой \(\overrightarrow{OZ} = a \cdot \overrightarrow{OA} + b \cdot \overrightarrow{OB}\), т. е. \(z = a \cdot 1 + b \cdot i\). Сокращённую запись этого равенства \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа, называют алгебраической формой комплексного числа. Число \(a\) называют действительной частью числа \(z\) и обозначают \(\operatorname{Re} z\), число \(b\) — мнимой частью и обозначают \(\operatorname{Im} z\).

Например, комплексное число \(z = 2 - 5i\) — это вектор \(\overrightarrow{OZ}\) с концом в точке \(Z(2;\ -5)\); у него \(\operatorname{Re} z = 2\), \(\operatorname{Im} z = -5\): мнимая часть — само число \(-5\), а не \(-5i\).

Ответ: алгебраической формой комплексного числа \(z\) называют запись \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа (координаты точки \(Z\) и вектора \(\overrightarrow{OZ}\)).

Комплексное число \(z = a + bi\) — это вектор \(\overrightarrow{OZ}\) с координатами \((a;\ b)\). Модулем комплексного числа \(z\) называют модуль этого вектора, т. е. длину отрезка \(OZ\): \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Модуль комплексного числа — действительное число, причём \(|z| \geqslant 0\) при любом \(z \in \mathbf{C}\) и \(|z| = 0\) тогда и только тогда, когда \(z = 0\).

Например, \(|6 - 8i| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10\).

Ответ: модулем комплексного числа \(z = a + bi\) называют модуль вектора \(\overrightarrow{OZ}\), т. е. число \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Произведением комплексных чисел \(a_1 + b_1 i\) и \(a_2 + b_2 i\) называют комплексное число \((a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i\). Такое определение получается, если в произведении \((a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)\) раскрыть скобки обычным способом и считать, что \(i \cdot i = -1\); тогда уравнение \(z^2 + 1 = 0\) имеет решение \(z = i\). Определённое так умножение обладает свойствами умножения действительных чисел (переместительным, сочетательным, распределительным), поэтому действия с комплексными числами можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i^2\) на \(-1\).

Например, по определению \((1 + 2i)(3 - i) = (1 \cdot 3 - 2 \cdot (-1)) + (1 \cdot (-1) + 3 \cdot 2)i = 5 + 5i\).

Ответ: произведением комплексных чисел \(a_1 + b_1 i\) и \(a_2 + b_2 i\) называют комплексное число \((a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i\).

Комплексные числа \(a + bi\) и \(a - bi\) называют сопряжёнными. Число, сопряжённое числу \(z\), обозначают \(\overline{z}\): если \(z = a + bi\), то \(\overline{z} = a - bi\). Сопряжённые числа — это векторы, симметричные относительно оси абсцисс. Число, сопряжённое действительному числу, совпадает с ним. Произведение сопряжённых чисел — действительное число: \(z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2\).

Например, числа \(3 + 4i\) и \(3 - 4i\) сопряжённые, и \((3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25 = |3 + 4i|^2\); кроме того, \(\overline{-2i} = 2i\), \(\overline{7} = 7\).

Ответ: сопряжёнными называют комплексные числа \(a + bi\) и \(a - bi\).

Частным комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2 \ne 0\), называют такое комплексное число \(z\), что \(z \cdot z_2 = z_1\). Пишут: \(z_1 : z_2 = z\) или \(\frac{z_1}{z_2} = z\). При \(z_2 \ne 0\) такое число существует и определяется однозначно: умножив обе части равенства \(z \cdot z_2 = z_1\) на \(\overline{z}_2\), получаем \(z|z_2|^2 = z_1 \overline{z}_2\), где \(|z_2|^2 \ne 0\), откуда \(z = \frac{z_1 \overline{z}_2}{|z_2|^2}\); это число и удовлетворяет равенству \(z \cdot z_2 = z_1\), поскольку \(\frac{z_1 \overline{z}_2}{|z_2|^2} \cdot z_2 = \frac{z_1 |z_2|^2}{|z_2|^2} = z_1\). Поэтому частное удобно находить, умножив числитель и знаменатель дроби \(\frac{z_1}{z_2}\) на \(\overline{z}_2\).

Например, частное чисел \(5\) и \(2 - i\) равно \(2 + i\), поскольку \((2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 5\). Тот же результат даёт умножение числителя и знаменателя на число \(2 + i\), сопряжённое знаменателю: \(\frac{5}{2 - i} = \frac{5(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{5(2 + i)}{5} = 2 + i\).

Ответ: частным комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2 \ne 0\), называют такое комплексное число \(z\), что \(z \cdot z_2 = z_1\).