Страница 109 номер 11.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции \(y = 2x^3\) и прямой, которая касается этого графика в точке с абсциссой \(x_0 = 1\).
Пусть \(f(x) = 2x^3\). Тогда \(f'(x) = 6x^2\), \(f(1) = 2\), \(f'(1) = 6\), и уравнение касательной в точке с абсциссой \(x_0 = 1\): \(y = 6(x - 1) + 2\), или \(y = 6x - 4\). Касательная пересекает ось абсцисс в точке \(\left(\frac{2}{3};\ 0\right)\), а график функции \(y = 2x^3\) — в начале координат. При \(x \geqslant -2\) график лежит не ниже касательной: \(2x^3 - (6x - 4) = 2\left(x^3 - 3x + 2\right) = 2(x - 1)^2(x + 2) \geqslant 0\). Разность равна нулю только при \(x = 1\) и \(x = -2\): кроме точки касания \((1;\ 2)\), у графика и касательной есть общая точка \((-2;\ -16)\). Поэтому ось абсцисс, график и касательная ограничивают две фигуры: над осью абсцисс — у точки касания, под осью абсцисс — между дугой графика от точки \((-2;\ -16)\) до начала координат, осью абсцисс и касательной.
Фигуру у точки касания сверху ограничивает график функции \(y = 2x^3\), снизу — ось абсцисс на отрезке \(\left[0;\ \frac{2}{3}\right]\) и касательная на отрезке \(\left[\frac{2}{3};\ 1\right]\). Её площадь \(S = S_1 - S_2\), где \(S_1\) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = 2x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 1\), а \(S_2\) — площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \(x = 1\):
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{0}^{1} 2x^3\,dx = \frac{x^4}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}; \\ S_2 &= \int\limits_{\frac{2}{3}}^{1} (6x - 4)\,dx = \left(3x^2 - 4x\right)\Big|_{\frac{2}{3}}^{1} = (3 - 4) - \left(\frac{4}{3} - \frac{8}{3}\right) = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 - S_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).
Фигуру под осью абсцисс снизу ограничивает касательная, а сверху — график функции \(y = 2x^3\) на отрезке \([-2;\ 0]\) и ось абсцисс на отрезке \(\left[0;\ \frac{2}{3}\right]\), где \(6x - 4 \leqslant 0\). Ось ординат делит её на две части площадями \(S_3\) и \(S_4\):
\[\begin{aligned} S_3 &= \int\limits_{-2}^{0} \left(2x^3 - (6x - 4)\right)dx = \left(\frac{x^4}{2} - 3x^2 + 4x\right)\Big|_{-2}^{0} = {} \\ &= 0 - (8 - 12 - 8) = 12; \\ S_4 &= \int\limits_{0}^{\frac{2}{3}} \left(0 - (6x - 4)\right)dx = \left(4x - 3x^2\right)\Big|_{0}^{\frac{2}{3}} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3}. \end{aligned}\]
Площадь фигуры под осью абсцисс равна \(S_3 + S_4 = 12 + \frac{4}{3} = \frac{40}{3}\).
Ответ: площадь фигуры у точки касания (над осью абсцисс) равна \(\frac{1}{6}\), площадь фигуры под осью абсцисс равна \(\frac{40}{3}\).
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции \(y = 2x^3\) и прямой, которая касается этого графика в точке с абсциссой \(x_0 = 1\).
Пусть \(f(x) = 2x^3\). Тогда \(f'(x) = 6x^2\), \(f(1) = 2\), \(f'(1) = 6\), и уравнение касательной к графику в точке с абсциссой \(x_0 = 1\) имеет вид \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\), то есть \(y = 6(x - 1) + 2\), или \(y = 6x - 4\). Касательная пересекает ось абсцисс в точке \(\left(\frac{2}{3};\ 0\right)\), а график функции \(y = 2x^3\) пересекает ось абсцисс в начале координат. При \(x \geqslant -2\) график лежит не ниже касательной: \(2x^3 - (6x - 4) = 2\left(x^3 - 3x + 2\right) = 2(x - 1)^2(x + 2) \geqslant 0\). Эта разность равна нулю только при \(x = 1\) и \(x = -2\), поэтому, кроме точки касания \((1;\ 2)\), график и касательная имеют общую точку \((-2;\ -16)\), и ось абсцисс, график и касательная ограничивают две фигуры: над осью абсцисс — у точки касания, под осью абсцисс — между дугой графика от точки \((-2;\ -16)\) до начала координат, осью абсцисс и касательной.
Фигура у точки касания лежит над осью абсцисс, её вершины — точки \(O(0;\ 0)\), \(\left(\frac{2}{3};\ 0\right)\) и точка касания \((1;\ 2)\): сверху её ограничивает график функции \(y = 2x^3\), снизу — ось абсцисс на отрезке \(\left[0;\ \frac{2}{3}\right]\) и касательная на отрезке \(\left[\frac{2}{3};\ 1\right]\). Её площадь \(S = S_1 - S_2\), где \(S_1\) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = 2x^3\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 1\) (на отрезке \([0;\ 1]\) эта функция неотрицательна), а \(S_2\) — площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \(x = 1\):
\[\begin{aligned} S_1 &= \int\limits_{0}^{1} 2x^3\,dx = \frac{x^4}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}; \\ S_2 &= \int\limits_{\frac{2}{3}}^{1} (6x - 4)\,dx = \left(3x^2 - 4x\right)\Big|_{\frac{2}{3}}^{1} = (3 - 4) - \left(\frac{4}{3} - \frac{8}{3}\right) = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Тогда \(S = S_1 - S_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).
Фигура под осью абсцисс имеет вершины \((-2;\ -16)\), \(O(0;\ 0)\) и \(\left(\frac{2}{3};\ 0\right)\): снизу её ограничивает касательная, а сверху — график функции \(y = 2x^3\) на отрезке \([-2;\ 0]\) и ось абсцисс на отрезке \(\left[0;\ \frac{2}{3}\right]\). Ось ординат делит её на две части площадями \(S_3\) и \(S_4\). На отрезке \([-2;\ 0]\) график лежит не ниже касательной, а на отрезке \(\left[0;\ \frac{2}{3}\right]\) касательная лежит не выше оси абсцисс: \(6x - 4 \leqslant 0\) при \(x \leqslant \frac{2}{3}\). Тогда
\[\begin{aligned} S_3 &= \int\limits_{-2}^{0} \left(2x^3 - (6x - 4)\right)dx = \left(\frac{x^4}{2} - 3x^2 + 4x\right)\Big|_{-2}^{0} = {} \\ &= 0 - (8 - 12 - 8) = 12; \\ S_4 &= \int\limits_{0}^{\frac{2}{3}} \left(0 - (6x - 4)\right)dx = \left(4x - 3x^2\right)\Big|_{0}^{\frac{2}{3}} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3}. \end{aligned}\]
Площадь фигуры под осью абсцисс равна \(S_3 + S_4 = 12 + \frac{4}{3} = \frac{40}{3}\).
Ответ: площадь фигуры у точки касания (над осью абсцисс) равна \(\frac{1}{6}\), площадь фигуры под осью абсцисс равна \(\frac{40}{3}\).
