Страница 108 номер 11.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) \(y = x^2 - 4x\), \(y = x - 4\); 2) \(y = 3 - x^2\), \(y = 2x\); 3) \(y = \cos x\), \(y = -2\cos x\), \(x = -\frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{2}\); 4) \(y = 4 - x^2\), \(y = x^2 - 2x\).
1) Из уравнения \(x^2 - 4x = x - 4\), то есть \(x^2 - 5x + 4 = 0\), находим абсциссы точек пересечения графиков: \(x = 1\) и \(x = 4\). На отрезке \([1;\ 4]\) имеем \((x - 4) - \left(x^2 - 4x\right) = -(x - 1)(x - 4) \geqslant 0\): прямая лежит не ниже параболы. Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{4} \left(x - 4 - \left(x^2 - 4x\right)\right)dx = \int\limits_{1}^{4} \left(-x^2 + 5x - 4\right)dx = {} \\ &= \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right)\Big|_{1}^{4} = {} \\ &= \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = 4{,}5. \end{aligned}\]
2) Из уравнения \(3 - x^2 = 2x\), то есть \(x^2 + 2x - 3 = 0\), находим абсциссы точек пересечения графиков: \(x = -3\) и \(x = 1\). На отрезке \([-3;\ 1]\) имеем \(3 - x^2 - 2x = -(x + 3)(x - 1) \geqslant 0\): парабола лежит не ниже прямой. Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-3}^{1} \left(3 - x^2 - 2x\right)dx = \left(3x - \frac{x^3}{3} - x^2\right)\Big|_{-3}^{1} = {} \\ &= \left(3 - \frac{1}{3} - 1\right) - (-9 + 9 - 9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{32}{3}. \end{aligned}\]
3) На отрезке \(\left[-\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}\right]\) имеем \(\cos x \geqslant 0\), поэтому \(\cos x - (-2\cos x) = 3\cos x \geqslant 0\): график функции \(y = \cos x\) лежит не ниже графика функции \(y = -2\cos x\). Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos x - (-2\cos x)\right)dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x\,dx = {} \\ &= 3\sin x\Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = 3\sin\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 + \frac{3}{2} = 4{,}5. \end{aligned}\]
4) Из уравнения \(4 - x^2 = x^2 - 2x\), то есть \(x^2 - x - 2 = 0\), находим абсциссы точек пересечения графиков: \(x = -1\) и \(x = 2\). На отрезке \([-1;\ 2]\) имеем \(\left(4 - x^2\right) - \left(x^2 - 2x\right) = -2(x + 1)(x - 2) \geqslant 0\): график функции \(y = 4 - x^2\) лежит не ниже графика функции \(y = x^2 - 2x\). Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-1}^{2} \left(4 - x^2 - \left(x^2 - 2x\right)\right)dx = \int\limits_{-1}^{2} \left(-2x^2 + 2x + 4\right)dx = {} \\ &= \left(-\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x\right)\Big|_{-1}^{2} = {} \\ &= \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(4{,}5\); 2) \(\frac{32}{3}\); 3) \(4{,}5\); 4) 9.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) \(y = x^2 - 4x\), \(y = x - 4\); 2) \(y = 3 - x^2\), \(y = 2x\); 3) \(y = \cos x\), \(y = -2\cos x\), \(x = -\frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{2}\); 4) \(y = 4 - x^2\), \(y = x^2 - 2x\).
1) Фигура ограничена графиком функции \(y = x^2 - 4x\) и прямой \(y = x - 4\). Решив уравнение \(x^2 - 4x = x - 4\), то есть \(x^2 - 5x + 4 = 0\), устанавливаем, что графики пересекаются в двух точках с абсциссами \(x = 1\) и \(x = 4\). На отрезке \([1;\ 4]\) имеем \((x - 4) - \left(x^2 - 4x\right) = -(x - 1)(x - 4) \geqslant 0\): прямая лежит не ниже параболы. Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{1}^{4} \left(x - 4 - \left(x^2 - 4x\right)\right)dx = \int\limits_{1}^{4} \left(-x^2 + 5x - 4\right)dx = {} \\ &= \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right)\Big|_{1}^{4} = {} \\ &= \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = 4{,}5. \end{aligned}\]
2) Фигура ограничена графиком функции \(y = 3 - x^2\) и прямой \(y = 2x\). Решив уравнение \(3 - x^2 = 2x\), то есть \(x^2 + 2x - 3 = 0\), устанавливаем, что графики пересекаются в двух точках с абсциссами \(x = -3\) и \(x = 1\). На отрезке \([-3;\ 1]\) имеем \(3 - x^2 - 2x = -(x + 3)(x - 1) \geqslant 0\): парабола лежит не ниже прямой. Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-3}^{1} \left(3 - x^2 - 2x\right)dx = \left(3x - \frac{x^3}{3} - x^2\right)\Big|_{-3}^{1} = {} \\ &= \left(3 - \frac{1}{3} - 1\right) - (-9 + 9 - 9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{32}{3}. \end{aligned}\]
3) Фигура ограничена графиками функций \(y = \cos x\), \(y = -2\cos x\) и прямыми \(x = -\frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{2}\). На отрезке \(\left[-\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}\right]\) выполняется неравенство \(\cos x \geqslant 0\), поэтому \(\cos x - (-2\cos x) = 3\cos x \geqslant 0\): график функции \(y = \cos x\) лежит не ниже графика функции \(y = -2\cos x\). Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos x - (-2\cos x)\right)dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x\,dx = {} \\ &= 3\sin x\Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = 3\sin\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 + \frac{3}{2} = 4{,}5. \end{aligned}\]
4) Фигура ограничена графиками функций \(y = 4 - x^2\) и \(y = x^2 - 2x\). Решив уравнение \(4 - x^2 = x^2 - 2x\), то есть \(x^2 - x - 2 = 0\), устанавливаем, что графики пересекаются в двух точках с абсциссами \(x = -1\) и \(x = 2\). На отрезке \([-1;\ 2]\) имеем \(\left(4 - x^2\right) - \left(x^2 - 2x\right) = -2(x + 1)(x - 2) \geqslant 0\): график функции \(y = 4 - x^2\) лежит не ниже графика функции \(y = x^2 - 2x\). Тогда
\[\begin{aligned} &S = \int\limits_{-1}^{2} \left(4 - x^2 - \left(x^2 - 2x\right)\right)dx = \int\limits_{-1}^{2} \left(-2x^2 + 2x + 4\right)dx = {} \\ &= \left(-\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x\right)\Big|_{-1}^{2} = {} \\ &= \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(4{,}5\); 2) \(\frac{32}{3}\); 3) \(4{,}5\); 4) 9.
