Самостоятельная работа 45 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По теореме о производной сложной функции получаем: \(y' = 6(2x - 1)^5 \cdot (2x - 1)' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2 = 12(2x - 1)^5\).

Вторая производная — это производная функции \(y'\), поэтому множитель \(2\) появляется ещё раз:

\[y'' = 12 \cdot 5(2x - 1)^4 \cdot (2x - 1)' = 60(2x - 1)^4 \cdot 2 = 120(2x - 1)^4.\]

2) По правилу дифференцирования произведения получаем:

\[y' = \left((x + 4)^2\right)'\cos x + (x + 4)^2(\cos x)' = 2(x + 4)\cos x - (x + 4)^2\sin x.\]

Каждое из двух слагаемых снова дифференцируем как произведение:

\[\begin{aligned} &y'' = \left(2(x + 4)\cos x\right)' - \left((x + 4)^2\sin x\right)' = {} \\ &= 2\cos x - 2(x + 4)\sin x - 2(x + 4)\sin x - (x + 4)^2\cos x = {} \\ &= 2\cos x - 4(x + 4)\sin x - (x + 4)^2\cos x. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(y'' = 120(2x - 1)^4\); 2) \(y'' = 2\cos x - 4(x + 4)\sin x - (x + 4)^2\cos x\).

Дано:
\(m = 5\) кг
\(s(t) = t^3 - 8t + 7\) (перемещение в метрах, время в секундах)
\(F(t) = ma(t)\)
\(t = 2\) с

Найти: \(F(2)\) — силу, действующую на тело.

Решение: Скорость движения — производная закона движения: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 8\).

Ускорение движения — производная скорости, то есть вторая производная закона движения: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t\).

\(a(2) = 6 \cdot 2 = 12\) (м/с²) — ускорение тела через 2 с после начала движения.

\(F(2) = ma(2) = 5 \cdot 12 = 60\) (Н) — искомая сила.

Ответ: \(60\) Н.

1) Подкоренное выражение неотрицательно при \(x - 2 \geqslant 0\), поэтому \(D\,(y) = [2;\ +\infty)\).

При \(x > 2\) имеем \(y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}\). Найдём вторую производную. По правилу дифференцирования частного получаем \(\left(\frac{1}{\sqrt{x - 2}}\right)' = \frac{-\left(\sqrt{x - 2}\right)'}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x - 2}}}{x - 2} = -\frac{1}{2\sqrt{(x - 2)^3}}\), поэтому

\[y'' = 2 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{(x - 2)^3}}\right) = 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x - 2)^3}}.\]

Решим уравнение \(y'' = 0\): \(\frac{1}{4\sqrt{(x - 2)^3}} = 2\); \(\sqrt{(x - 2)^3} = \frac{1}{8}\); \((x - 2)^3 = \frac{1}{64}\); \(x - 2 = \frac{1}{4}\); \(x = 2{,}25\).

При \(2 < x < 2{,}25\) выполняется \(0 < (x - 2)^3 < \frac{1}{64}\), поэтому \(\sqrt{(x - 2)^3} < \frac{1}{8}\), дробь \(\frac{1}{4\sqrt{(x - 2)^3}}\) больше \(2\) и \(y'' < 0\). При \(x > 2{,}25\), наоборот, \(\sqrt{(x - 2)^3} > \frac{1}{8}\) и \(y'' > 0\).

Следовательно, данная функция является выпуклой вверх на промежутке \((2;\ 2{,}25]\) и выпуклой вниз на промежутке \([2{,}25;\ +\infty)\). Точку \(2\) в промежуток выпуклости не включаем: при приближении к \(2\) справа значения \(y'\) неограниченно возрастают, касательная в этой точке вертикальна, то есть функция там не дифференцируема, а выпуклость определена для функции, дифференцируемой на промежутке.

На промежутках \((2;\ 2{,}25]\) и \([2{,}25;\ +\infty)\) функция имеет разный характер выпуклости. В точке с абсциссой \(x_0 = 2{,}25\) к графику функции можно провести касательную, потому что \(y'(2{,}25) = 2 \cdot 2{,}25 + \frac{1}{2\sqrt{0{,}25}} = 4{,}5 + 1 = 5{,}5\). Следовательно, \(x_0 = 2{,}25\) является точкой перегиба данной функции.

2) Функция определена на множестве действительных чисел. Имеем: \(y' = 5x^4 - 20x^3 + 18\); \(y'' = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x - 3)\).

Так как \(x^2 \geqslant 0\) при всех \(x\), знак второй производной определяется множителем \(x - 3\): неравенство \(y'' \leqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant 3\), а неравенство \(y'' \geqslant 0\) — при \(x \geqslant 3\). Нуль \(x = 0\) знака второй производной не меняет и промежуток выпуклости не разрывает.

Следовательно, данная функция является выпуклой вверх на промежутке \((-\infty;\ 3]\) и выпуклой вниз на промежутке \([3;\ +\infty)\).

На этих промежутках функция имеет разный характер выпуклости, и в точке с абсциссой \(x_0 = 3\) к её графику можно провести касательную (функция дифференцируема на \(\mathbf{R}\)). Следовательно, \(x_0 = 3\) является точкой перегиба. Точка \(x = 0\) точкой перегиба не является: слева и справа от неё функция выпукла вверх.

Ответ: 1) функция выпукла вверх на промежутке \((2;\ 2{,}25]\) и выпукла вниз на промежутке \([2{,}25;\ +\infty)\), \(x_0 = 2{,}25\) — точка перегиба; 2) функция выпукла вверх на промежутке \((-\infty;\ 3]\) и выпукла вниз на промежутке \([3;\ +\infty)\), \(x_0 = 3\) — точка перегиба.