Самостоятельная работа 44 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдём критические точки:

\[f'(x) = 3x^2 + 3x - 18 = 3(x^2 + x - 6) = 3(x + 3)(x - 2).\]

Производная существует при всех \(x\) и обращается в нуль при \(x = -3\) и при \(x = 2\). Следовательно, функция \(f\) имеет две критические точки, а промежутку \([-4;\ 0]\) принадлежит одна: \(x = -3\).

Имеем: \(f(-3) = -27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 54 + 1 = \frac{83}{2}\), \(f(-4) = -64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 72 + 1 = 33\), \(f(0) = 1\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-4;\ 0]} f(x) = f(-3) = \frac{83}{2}\), \(\min\limits_{[-4;\ 0]} f(x) = f(0) = 1\).

2) Найдём область определения: \(15 - 2x - x^2 \geqslant 0\); \(x^2 + 2x - 15 \leqslant 0\); \((x + 5)(x - 3) \leqslant 0\), откуда \(D(f) = [-5;\ 3]\). Отрезок \([-4;\ 1]\) лежит в области определения, и на нём функция непрерывна.

При \(-5 < x < 3\) по теореме о производной сложной функции получаем:

\[f'(x) = \frac{(15 - 2x - x^2)'}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} = \frac{-(1 + x)}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}.\]

Производная обращается в нуль при \(x = -1\); промежутку \([-4;\ 1]\) эта критическая точка принадлежит.

Имеем: \(f(-1) = \sqrt{15 + 2 - 1} = \sqrt{16} = 4\), \(f(-4) = \sqrt{15 + 8 - 16} = \sqrt{7}\), \(f(1) = \sqrt{15 - 2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Сравним \(\sqrt{7}\) и \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}\) по подкоренным выражениям: \(7 < 12\), поэтому \(\sqrt{7} < 2\sqrt{3}\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-4;\ 1]} f(x) = f(-1) = 4\), \(\min\limits_{[-4;\ 1]} f(x) = f(-4) = \sqrt{7}\).

3) Раскроем модуль по промежуткам. При \(-5 \leqslant x \leqslant 0\) имеем \(|x| = -x\), поэтому \(f(x) = x^2 + 8x + 15\) и \(f'(x) = 2x + 8\); производная обращается в нуль при \(x = -4\), и эта точка промежутку \([-5;\ 0]\) принадлежит. При \(0 \leqslant x \leqslant 1\) имеем \(|x| = x\), поэтому \(f(x) = x^2 - 8x + 15\) и \(f'(x) = 2x - 8 \leqslant -6 < 0\) — на этом промежутке производная в нуль не обращается.

В точке \(x = 0\) производной не существует: слева от нуля она равна \(2x + 8\) и стремится к \(8\), а справа равна \(2x - 8\) и стремится к \(-8\) (так же ведёт себя производная функции \(y = |x|\) в точке \(0\)). Точка \(0\) — внутренняя точка области определения, поэтому она критическая.

Следовательно, отрезку \([-5;\ 1]\) принадлежат две критические точки: \(x = -4\) и \(x = 0\).

Имеем: \(f(-4) = 16 - 32 + 15 = -1\), \(f(0) = 15\), \(f(-5) = 25 - 40 + 15 = 0\), \(f(1) = 1 - 8 + 15 = 8\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-5;\ 1]} f(x) = f(0) = 15\), \(\min\limits_{[-5;\ 1]} f(x) = f(-4) = -1\).

Ответ: 1) наибольшее значение \(\frac{83}{2}\), наименьшее значение \(1\); 2) наибольшее значение \(4\), наименьшее значение \(\sqrt{7}\); 3) наибольшее значение \(15\), наименьшее значение \(-1\).

Дано:
\(R = 3\sqrt{5}\) см — радиус полукруга
прямоугольник вписан в полукруг: одна его сторона лежит на диаметре, две вершины лежат на дуге
периметр прямоугольника — наибольший

Найти: стороны прямоугольника.

Решение: Две вершины прямоугольника лежат на дуге, а противолежащая им сторона — на диаметре, поэтому прямоугольник симметричен относительно перпендикуляра к диаметру, проведённого через центр полукруга.

Пусть половина стороны, лежащей на диаметре, равна \(x\) см. Тогда сама эта сторона равна \(2x\) см. Вершина, лежащая на дуге, удалена от центра на \(3\sqrt{5}\) см, поэтому по теореме Пифагора вторая сторона прямоугольника равна \(\sqrt{45 - x^2}\) см. Из условия задачи следует, что значения переменной удовлетворяют неравенству \(0 < x < 3\sqrt{5}\), то есть принадлежат промежутку \(\left(0;\ 3\sqrt{5}\right)\).

Периметр прямоугольника равен \(P(x) = 2 \cdot 2x + 2\sqrt{45 - x^2} = 4x + 2\sqrt{45 - x^2}\), и задача свелась к нахождению наибольшего значения функции \(P\) на интервале \(\left(0;\ 3\sqrt{5}\right)\). Рассмотрим непрерывную функцию \(f(x) = 4x + 2\sqrt{45 - x^2}\), \(D(f) = \left[0;\ 3\sqrt{5}\right]\), и будем искать её наибольшее значение на промежутке \(\left[0;\ 3\sqrt{5}\right]\).

Найдём критические точки функции \(f\). При \(0 < x < 3\sqrt{5}\) имеем:

\[f'(x) = 4 + 2 \cdot \frac{(45 - x^2)'}{2\sqrt{45 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}}.\]

Решим уравнение \(f'(x) = 0\): \(\frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}} = 4\); \(2\sqrt{45 - x^2} = x\). Обе части последнего равенства неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: \(4(45 - x^2) = x^2\); \(5x^2 = 180\); \(x^2 = 36\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = 6\), причём \(6 < 3\sqrt{5}\), так как \(36 < 45\). Значит, промежутку \(\left[0;\ 3\sqrt{5}\right]\) принадлежит одна критическая точка \(x = 6\).

Имеем: \(f(6) = 24 + 2\sqrt{45 - 36} = 24 + 6 = 30\), \(f(0) = 2\sqrt{45} = 6\sqrt{5}\), \(f\left(3\sqrt{5}\right) = 12\sqrt{5}\). Сравним значения: \(6\sqrt{5} < 12\sqrt{5}\) и \(12\sqrt{5} = \sqrt{720} < \sqrt{900} = 30\).

Следовательно, \(\max\limits_{\left[0;\ 3\sqrt{5}\right]} f(x) = f(6) = 30\), то есть функция \(P\) на интервале \(\left(0;\ 3\sqrt{5}\right)\) принимает наибольшее значение при \(x = 6\).

Тогда сторона, лежащая на диаметре, равна \(2 \cdot 6 = 12\) (см), а вторая сторона равна \(\sqrt{45 - 36} = 3\) (см).

Ответ: \(12\) см и \(3\) см.