Самостоятельная работа 45 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) \(y' = 5(3x - 4)^4 \cdot (3x - 4)' = 5(3x - 4)^4 \cdot 3 = 15(3x - 4)^4\).
\(y'' = 15 \cdot 4(3x - 4)^3 \cdot (3x - 4)' = 60(3x - 4)^3 \cdot 3 = 180(3x - 4)^3\).
2) \(y' = \left((x - 2)^2\right)'\sin x + (x - 2)^2(\sin x)' = 2(x - 2)\sin x + (x - 2)^2\cos x\).
\[\begin{aligned} y'' &= \left(2(x - 2)\sin x\right)' + \left((x - 2)^2\cos x\right)' = {} \\ &= 2\sin x + 2(x - 2)\cos x + 2(x - 2)\cos x - (x - 2)^2\sin x = {} \\ &= 2\sin x + 4(x - 2)\cos x - (x - 2)^2\sin x. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(y'' = 180(3x - 4)^3\); 2) \(y'' = 2\sin x + 4(x - 2)\cos x - (x - 2)^2\sin x\).
Дано:
\(m = 4\) кг
\(s\,(t) = t^3 - 5t + 6\) (перемещение в метрах, время в секундах)
\(F(t) = ma\,(t)\)
\(t = 3\) с
Найти: \(F(3)\) — силу, действующую на тело.
Решение:
\(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 5\) — скорость.
\(a\,(t) = v'(t) = s''(t) = 6t\) — ускорение.
\(a\,(3) = 6 \cdot 3 = 18\) (м/с²) — ускорение тела через 3 с после начала движения.
\(F(3) = ma\,(3) = 4 \cdot 18 = 72\) (Н) — искомая сила.
Ответ: \(72\) Н.
1) \(x + 3 \geqslant 0\), поэтому \(D\,(y) = [-3;\ +\infty)\).
При \(x > -3\) имеем \(y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}\), а \(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 3}}\right)' = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 3}}}{x + 3} = -\frac{1}{2\sqrt{(x + 3)^3}}\), поэтому
\[y'' = 2 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{(x + 3)^3}}\right) = 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x + 3)^3}}.\]
\(y'' = 0\): \(\frac{1}{4\sqrt{(x + 3)^3}} = 2\); \(\sqrt{(x + 3)^3} = \frac{1}{8}\); \((x + 3)^3 = \frac{1}{64}\); \(x + 3 = \frac{1}{4}\); \(x = -2{,}75\).
При \(-3 < x < -2{,}75\) выполняется \(0 < (x + 3)^3 < \frac{1}{64}\), поэтому \(\sqrt{(x + 3)^3} < \frac{1}{8}\), дробь \(\frac{1}{4\sqrt{(x + 3)^3}}\) больше \(2\) и \(y'' < 0\); при \(x > -2{,}75\), наоборот, \(\sqrt{(x + 3)^3} > \frac{1}{8}\) и \(y'' > 0\).
Функция выпуклая вверх на промежутке \((-3;\ -2{,}75]\) и выпуклая вниз на промежутке \([-2{,}75;\ +\infty)\). Точку \(-3\) в промежуток выпуклости не включаем: касательная в ней вертикальна, то есть функция там не дифференцируема, а выпуклость определена для функции, дифференцируемой на промежутке.
Характер выпуклости в точке \(x_0 = -2{,}75\) меняется, и касательная в ней существует: \(y'(-2{,}75) = 2 \cdot (-2{,}75) + \frac{1}{2\sqrt{0{,}25}} = -5{,}5 + 1 = -4{,}5\). Значит, \(x_0 = -2{,}75\) — точка перегиба.
2) Функция определена на множестве действительных чисел; \(y' = 35x^6 - 84x^5 + 3\); \(y'' = 210x^5 - 420x^4 = 210x^4(x - 2)\).
Так как \(x^4 \geqslant 0\) при всех \(x\), знак второй производной определяется множителем \(x - 2\): неравенство \(y'' \leqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant 2\), а неравенство \(y'' \geqslant 0\) — при \(x \geqslant 2\).
Функция выпуклая вверх на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и выпуклая вниз на промежутке \([2;\ +\infty)\). Характер выпуклости в точке \(x_0 = 2\) меняется, а касательная в ней существует, так как функция дифференцируема на \(\mathbf{R}\); значит, \(x_0 = 2\) — точка перегиба. При переходе через точку \(x = 0\) вторая производная знак не меняет: промежуток выпуклости эта точка не разрывает и точкой перегиба не является.
Ответ: 1) функция выпукла вверх на промежутке \((-3;\ -2{,}75]\) и выпукла вниз на промежутке \([-2{,}75;\ +\infty)\), \(x_0 = -2{,}75\) — точка перегиба; 2) функция выпукла вверх на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и выпукла вниз на промежутке \([2;\ +\infty)\), \(x_0 = 2\) — точка перегиба.
1) По теореме о производной сложной функции получаем: \(y' = 5(3x - 4)^4 \cdot (3x - 4)' = 5(3x - 4)^4 \cdot 3 = 15(3x - 4)^4\).
Вторая производная — это производная функции \(y'\), поэтому множитель \(3\) появляется ещё раз:
\[y'' = 15 \cdot 4(3x - 4)^3 \cdot (3x - 4)' = 60(3x - 4)^3 \cdot 3 = 180(3x - 4)^3.\]
2) По правилу дифференцирования произведения получаем:
\[y' = \left((x - 2)^2\right)'\sin x + (x - 2)^2(\sin x)' = 2(x - 2)\sin x + (x - 2)^2\cos x.\]
Каждое из двух слагаемых снова дифференцируем как произведение:
\[\begin{aligned} &y'' = \left(2(x - 2)\sin x\right)' + \left((x - 2)^2\cos x\right)' = {} \\ &= 2\sin x + 2(x - 2)\cos x + 2(x - 2)\cos x - (x - 2)^2\sin x = {} \\ &= 2\sin x + 4(x - 2)\cos x - (x - 2)^2\sin x. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(y'' = 180(3x - 4)^3\); 2) \(y'' = 2\sin x + 4(x - 2)\cos x - (x - 2)^2\sin x\).
Дано:
\(m = 4\) кг
\(s\,(t) = t^3 - 5t + 6\) (перемещение в метрах, время в секундах)
\(F(t) = ma\,(t)\)
\(t = 3\) с
Найти: \(F(3)\) — силу, действующую на тело.
Решение: Скорость движения — производная закона движения: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 5\).
Ускорение движения — производная скорости, то есть вторая производная закона движения: \(a\,(t) = v'(t) = s''(t) = 6t\).
\(a\,(3) = 6 \cdot 3 = 18\) (м/с²) — ускорение тела через 3 с после начала движения.
\(F(3) = ma\,(3) = 4 \cdot 18 = 72\) (Н) — искомая сила.
Ответ: \(72\) Н.
1) Подкоренное выражение неотрицательно при \(x + 3 \geqslant 0\), поэтому \(D\,(y) = [-3;\ +\infty)\).
При \(x > -3\) имеем \(y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}\). Найдём вторую производную. По правилу дифференцирования частного получаем \(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 3}}\right)' = \frac{-\left(\sqrt{x + 3}\right)'}{\left(\sqrt{x + 3}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 3}}}{x + 3} = -\frac{1}{2\sqrt{(x + 3)^3}}\), поэтому
\[y'' = 2 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{(x + 3)^3}}\right) = 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x + 3)^3}}.\]
Решим уравнение \(y'' = 0\): \(\frac{1}{4\sqrt{(x + 3)^3}} = 2\); \(\sqrt{(x + 3)^3} = \frac{1}{8}\); \((x + 3)^3 = \frac{1}{64}\); \(x + 3 = \frac{1}{4}\); \(x = -2{,}75\).
При \(-3 < x < -2{,}75\) выполняется \(0 < (x + 3)^3 < \frac{1}{64}\), поэтому \(\sqrt{(x + 3)^3} < \frac{1}{8}\), дробь \(\frac{1}{4\sqrt{(x + 3)^3}}\) больше \(2\) и \(y'' < 0\). При \(x > -2{,}75\), наоборот, \(\sqrt{(x + 3)^3} > \frac{1}{8}\) и \(y'' > 0\).
Следовательно, данная функция является выпуклой вверх на промежутке \((-3;\ -2{,}75]\) и выпуклой вниз на промежутке \([-2{,}75;\ +\infty)\). Точку \(-3\) в промежуток выпуклости не включаем: при приближении к \(-3\) справа значения \(y'\) неограниченно возрастают, касательная в этой точке вертикальна, то есть функция там не дифференцируема, а выпуклость определена для функции, дифференцируемой на промежутке.
На промежутках \((-3;\ -2{,}75]\) и \([-2{,}75;\ +\infty)\) функция имеет разный характер выпуклости. В точке с абсциссой \(x_0 = -2{,}75\) к графику функции можно провести касательную, потому что \(y'(-2{,}75) = 2 \cdot (-2{,}75) + \frac{1}{2\sqrt{0{,}25}} = -5{,}5 + 1 = -4{,}5\). Следовательно, \(x_0 = -2{,}75\) является точкой перегиба данной функции.
2) Функция определена на множестве действительных чисел. Имеем: \(y' = 35x^6 - 84x^5 + 3\); \(y'' = 210x^5 - 420x^4 = 210x^4(x - 2)\).
Так как \(x^4 \geqslant 0\) при всех \(x\), знак второй производной определяется множителем \(x - 2\): неравенство \(y'' \leqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant 2\), а неравенство \(y'' \geqslant 0\) — при \(x \geqslant 2\). Нуль \(x = 0\) знака второй производной не меняет и промежуток выпуклости не разрывает.
Следовательно, данная функция является выпуклой вверх на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и выпуклой вниз на промежутке \([2;\ +\infty)\).
На этих промежутках функция имеет разный характер выпуклости, и в точке с абсциссой \(x_0 = 2\) к её графику можно провести касательную (функция дифференцируема на \(\mathbf{R}\)). Следовательно, \(x_0 = 2\) является точкой перегиба. Точка \(x = 0\) точкой перегиба не является: слева и справа от неё функция выпукла вверх.
Ответ: 1) функция выпукла вверх на промежутке \((-3;\ -2{,}75]\) и выпукла вниз на промежутке \([-2{,}75;\ +\infty)\), \(x_0 = -2{,}75\) — точка перегиба; 2) функция выпукла вверх на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и выпукла вниз на промежутке \([2;\ +\infty)\), \(x_0 = 2\) — точка перегиба.
