Самостоятельная работа 46 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x\): число корней данного уравнения равно числу общих точек графика функции \(f\) и прямой \(y = a\).

Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

Имеем: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3 = \frac{3}{4}(x^2 - 4) = \frac{3}{4}(x - 2)(x + 2)\).

Следовательно, функция \(f\) имеет две критические точки: \(-2\) и \(2\). Производная положительна при \(x < -2\) и при \(x > 2\), отрицательна при \(-2 < x < 2\). Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -2]\) и \([2;\ +\infty)\), убывает на промежутке \([-2;\ 2]\), \(x_{\max} = -2\), \(x_{\min} = 2\). Имеем: \(f(-2) = 4\), \(f(2) = -4\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции и прямые \(y = a\) в характерных положениях.

Функция \(f\) непрерывна, поэтому на каждом из промежутков возрастания и убывания она принимает все значения между своими крайними значениями на этом промежутке, и притом каждое только один раз. При неограниченном убывании аргумента значения функции становятся меньше любого наперёд заданного числа, а при неограниченном возрастании аргумента — больше любого наперёд заданного числа. Поэтому на промежутке \((-\infty;\ -2]\) функция принимает все значения, не превосходящие \(4\); на промежутке \([-2;\ 2]\) — все значения от \(-4\) до \(4\); на промежутке \([2;\ +\infty)\) — все значения, не меньшие \(-4\).

Определяем количество корней уравнения \(f(x) = a\) в зависимости от значения параметра:

если \(a < -4\), то общая точка есть только на промежутке \((-\infty;\ -2]\), а если \(a > 4\) — только на промежутке \([2;\ +\infty)\); в обоих случаях уравнение имеет один корень;

если \(a = -4\), то корни \(-4\) и \(2\) (на промежутках \([-2;\ 2]\) и \([2;\ +\infty)\) общий корень \(2\) один и тот же), а если \(a = 4\), то корни \(-2\) и \(4\); в обоих случаях уравнение имеет два корня;

если \(-4 < a < 4\), то на каждом из трёх промежутков есть по одному корню, и все они различны, — уравнение имеет три корня.

Замечание. Из решения данной задачи исключены пункты 2—4, 7 плана исследования свойств функции: свойства функции, которые исследуются в этих пунктах, не используются при определении количества корней уравнения \(f(x) = a\).

Ответ: если \(a < -4\) или \(a > 4\), то \(1\) корень; если \(a = -4\) или \(a = 4\), то \(2\) корня; если \(-4 < a < 4\), то \(3\) корня.

1. Знаменатель \(x^2 + 16\) положителен при всех значениях \(x\), поэтому функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

2. Имеем: \(f(-x) = \frac{8 \cdot (-x)}{(-x)^2 + 16} = -\frac{8x}{x^2 + 16} = -f(x)\). Следовательно, функция \(f\) нечётная и её график симметричен относительно начала координат.

3—4. Дробь равна нулю только при \(8x = 0\), поэтому \(x = 0\) — единственный нуль функции. Знаменатель положителен, поэтому знак функции совпадает со знаком числителя: \(f(x) > 0\) при \(x \in (0;\ +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty;\ 0)\).

5—6. По правилу дифференцирования частного получаем:

\[f'(x) = \frac{8(x^2 + 16) - 8x \cdot 2x}{(x^2 + 16)^2} = \frac{8(16 - x^2)}{(x^2 + 16)^2} = \frac{-8(x - 4)(x + 4)}{(x^2 + 16)^2}.\]

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(-8(x - 4)(x + 4)\): производная положительна при \(-4 < x < 4\) и отрицательна при \(x < -4\) и при \(x > 4\). Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на промежутке \([-4;\ 4]\), убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -4]\) и \([4;\ +\infty)\), \(x_{\min} = -4\), \(x_{\max} = 4\). Имеем: \(f(-4) = -1\), \(f(4) = 1\).

7. Имеем: \(f''(x) = \frac{-16x(x^2 + 16)^2 - 8(16 - x^2) \cdot 2(x^2 + 16) \cdot 2x}{(x^2 + 16)^4}\). Упростив дробь, получим \(f''(x) = \frac{16x(x^2 - 48)}{(x^2 + 16)^3}\).

Знаменатель положителен, поэтому знак второй производной совпадает со знаком произведения \(16x(x^2 - 48)\), которое обращается в нуль при \(x = -4\sqrt{3}\), \(x = 0\) и \(x = 4\sqrt{3}\). Проверим знак пробными точками: \(f''(-8) = \frac{16 \cdot (-8) \cdot 16}{80^3} < 0\), \(f''(-1) = \frac{16 \cdot (-1) \cdot (-47)}{17^3} > 0\), \(f''(1) = \frac{16 \cdot 1 \cdot (-47)}{17^3} < 0\), \(f''(8) = \frac{16 \cdot 8 \cdot 16}{80^3} > 0\).

Исследовав знак второй производной, приходим к выводу, что функция \(f\) является выпуклой вверх на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -4\sqrt{3}\,\right]\) и \(\left[0;\ 4\sqrt{3}\,\right]\) и выпуклой вниз на каждом из промежутков \(\left[-4\sqrt{3};\ 0\right]\) и \(\left[4\sqrt{3};\ +\infty\right)\). Функция дифференцируема на \(\mathbf{R}\), поэтому в точках с абсциссами \(-4\sqrt{3}\), \(0\) и \(4\sqrt{3}\) к её графику можно провести касательную; характер выпуклости в каждой из них меняется, значит, все три точки являются точками перегиба. Имеем: \(f\left(-4\sqrt{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(f(0) = 0\), \(f\left(4\sqrt{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Если значения аргумента выбирать всё бо́льшими и бо́льшими, то значения функции всё меньше отличаются от нуля: \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{8x}{x^2 + 16} = 0\). Значит, прямая \(y = 0\) является горизонтальной асимптотой графика функции \(f\) при \(x \to +\infty\); аналогично она является горизонтальной асимптотой и при \(x \to -\infty\). Вертикальных асимптот график не имеет, потому что \(x^2 + 16 \ne 0\) при всех значениях \(x\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции.