Самостоятельная работа 43 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Знаменатель обращается в нуль при \(x = 3\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\).
\[f'(x) = \frac{2x(x - 3) - (x^2 - 5)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2} = \frac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 3)^2}.\]
Производная существует во всех точках области определения и равна нулю при \(x = 1\) и при \(x = 5\) — это критические точки; число \(3\) области определения не принадлежит, поэтому критической точкой оно не является.
Знаменатель \((x - 3)^2\) положителен при всех \(x \ne 3\), поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \((x - 1)(x - 5)\): \(f'(0) = \frac{(-1)(-5)}{9} > 0\), \(f'(2) = \frac{1 \cdot (-3)}{1} < 0\), \(f'(4) = \frac{3 \cdot (-1)}{1} < 0\), \(f'(6) = \frac{5 \cdot 1}{9} > 0\).
Производная положительна при \(x < 1\) и при \(x > 5\), отрицательна при \(1 < x < 3\) и при \(3 < x < 5\). Функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 1]\) и \([5;\ +\infty)\) и убывает на каждом из промежутков \([1;\ 3)\) и \((3;\ 5]\): два промежутка убывания в один не объединяются, число \(3\) в область определения не входит.
При переходе через точку \(1\) производная меняет знак с плюса на минус, через точку \(5\) — с минуса на плюс, поэтому \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = 5\).
2) \(2 - x \geqslant 0\), откуда \(D(f) = (-\infty;\ 2]\).
При \(x < 2\):
\[f'(x) = 2x\sqrt{2 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{2 - x}} = \frac{4x(2 - x) - x^2}{2\sqrt{2 - x}} = \frac{x(8 - 5x)}{2\sqrt{2 - x}}.\]
Производная равна нулю при \(x = 0\) и при \(x = \frac{8}{5}\). В точке \(x = 2\) производной нет, но число \(2\) — конец области определения, а не внутренняя её точка, поэтому критической точкой оно не является; критические точки — числа \(0\) и \(\frac{8}{5}\).
Знаменатель \(2\sqrt{2 - x}\) положителен при \(x < 2\), поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \(x(8 - 5x)\): производная отрицательна при \(x < 0\), положительна при \(0 < x < \frac{8}{5}\) и отрицательна при \(\frac{8}{5} < x < 2\).
Функция непрерывна в точке \(2\), поэтому эта точка входит в промежуток убывания: функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{8}{5};\ 2\right]\) и возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{8}{5}\right]\).
При переходе через точку \(0\) производная меняет знак с минуса на плюс, через точку \(\frac{8}{5}\) — с плюса на минус, поэтому \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{8}{5}\).
Ответ: 1) функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 1]\) и \([5;\ +\infty)\), убывает на каждом из промежутков \([1;\ 3)\) и \((3;\ 5]\); \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = 5\); 2) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{8}{5};\ 2\right]\), возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{8}{5}\right]\); \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{8}{5}\).
На рисунке — график производной, а не самой функции \(f\).
1) Функция \(f\) определена на \(\mathbf{R}\), поэтому каждая точка её области определения внутренняя, и критической может оказаться любая из них.
График производной имеет с осью абсцисс общие точки при \(x = -2\) (касание сверху), \(x = 3\) и \(x = 7\) (пересечения) — в них \(f'(x) = 0\).
При \(x = 2\) график разорван: слева от этой точки значения производной неограниченно возрастают, а справа она приходит из отрицательных значений. Значит, производной в точке \(2\) не существует, а сама точка внутренняя, поэтому она тоже критическая.
Критические точки функции \(f\): \(-2\); \(2\); \(3\); \(7\).
2) По рисунку производная положительна на промежутках \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\) и \((3;\ 7)\), отрицательна на промежутках \((2;\ 3)\) и \((7;\ +\infty)\).
При переходе через точку \(-2\) производная знак не меняет: она положительна и слева, и справа, функция \(f\) по обе стороны от этой точки возрастает — точкой экстремума точка \(-2\) не является.
При переходе через точку \(2\) производная меняет знак с плюса на минус, значит, \(x_{\max} = 2\).
При переходе через точку \(3\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, \(x_{\min} = 3\).
При переходе через точку \(7\) производная меняет знак с плюса на минус, значит, \(x_{\max} = 7\).
Ответ: 1) критические точки функции \(f\) — числа \(-2\); \(2\); \(3\); \(7\); 2) точки экстремума: \(x_{\max} = 2\), \(x_{\min} = 3\) и \(x_{\max} = 7\).
\(D\,(f) = \mathbf{R}\).
\(f'(x) = 2\sin x\cos x - (3a + 2) = \sin 2x - (3a + 2)\).
Производная существует при всех \(x\), поэтому критические точки — корни уравнения \(\sin 2x = 3a + 2\).
1) Корней нет тогда и только тогда, когда \(|3a + 2| > 1\), то есть когда \(3a + 2 > 1\) или \(3a + 2 < -1\), откуда \(a > -\frac{1}{3}\) или \(a < -1\). Критических точек нет при \(a < -1\) и при \(a > -\frac{1}{3}\).
2) При \(a < -1\) и при \(a > -\frac{1}{3}\) критических точек нет, значит, нет и точек экстремума.
Пусть \(|3a + 2| = 1\). При \(a = -\frac{1}{3}\) имеем \(f'(x) = \sin 2x - 1 \leqslant 0\) при всех \(x\), при \(a = -1\) имеем \(f'(x) = \sin 2x + 1 \geqslant 0\) при всех \(x\). Критические точки есть, но производная при переходе через каждую из них знак не меняет, поэтому ни одна из них точкой экстремума не является.
Пусть \(|3a + 2| < 1\). Обозначим \(t_0 = \arcsin(3a + 2)\); тогда \(-\frac{\pi}{2} < t_0 < \frac{\pi}{2}\) и \(\sin t_0 = 3a + 2\). На промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) синус возрастает, поэтому вблизи точки \(t_0\) выполняется \(\sin t < 3a + 2\) при \(t < t_0\) и \(\sin t > 3a + 2\) при \(t > t_0\): при переходе через точку \(x_0 = \frac{t_0}{2}\) производная \(f'(x) = \sin 2x - (3a + 2)\) меняет знак с минуса на плюс, то есть \(x_0\) — точка минимума функции \(f\), и точки экстремума есть.
Следовательно, точек экстремума нет тогда и только тогда, когда \(|3a + 2| \geqslant 1\), то есть при \(a \leqslant -1\) и при \(a \geqslant -\frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \(a < -1\) или \(a > -\frac{1}{3}\); 2) \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant -\frac{1}{3}\).
1) Знаменатель обращается в нуль при \(x = 3\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\).
По правилу дифференцирования частного получаем:
\[\begin{aligned} &f'(x) = \frac{(x^2 - 5)'(x - 3) - (x - 3)'(x^2 - 5)}{(x - 3)^2} = {} \\ &= \frac{2x(x - 3) - (x^2 - 5)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2} = \frac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 3)^2}. \end{aligned}\]
Во всех точках области определения производная существует, а обращается в нуль при \(x = 1\) и при \(x = 5\). Число \(3\) области определения не принадлежит, поэтому критической точкой оно не является. Значит, критические точки — \(1\) и \(5\).
Знаменатель \((x - 3)^2\) положителен при всех \(x \ne 3\), поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \((x - 1)(x - 5)\). Исследуем знак производной по пробным точкам: \(f'(0) = \frac{(-1)(-5)}{9} > 0\), \(f'(2) = \frac{1 \cdot (-3)}{1} < 0\), \(f'(4) = \frac{3 \cdot (-1)}{1} < 0\), \(f'(6) = \frac{5 \cdot 1}{9} > 0\).
Следовательно, производная положительна при \(x < 1\) и при \(x > 5\), отрицательна при \(1 < x < 3\) и при \(3 < x < 5\). Функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 1]\) и \([5;\ +\infty)\) и убывает на каждом из промежутков \([1;\ 3)\) и \((3;\ 5]\); промежутки убывания разделены точкой \(3\), которая не принадлежит области определения, и в один промежуток не объединяются.
При переходе через точку \(x = 1\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 1\); при переходе через точку \(x = 5\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = 5\).
2) Подкоренное выражение неотрицательно при \(2 - x \geqslant 0\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ 2]\).
При \(x < 2\) по правилу дифференцирования произведения и по теореме о производной сложной функции получаем:
\[\begin{aligned} &f'(x) = (x^2)'\sqrt{2 - x} + x^2\left(\sqrt{2 - x}\right)' = 2x\sqrt{2 - x} + x^2 \cdot \frac{(2 - x)'}{2\sqrt{2 - x}} = {} \\ &= 2x\sqrt{2 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{2 - x}} = \frac{4x(2 - x) - x^2}{2\sqrt{2 - x}} = \frac{x(8 - 5x)}{2\sqrt{2 - x}}. \end{aligned}\]
Производная равна нулю при \(x = 0\) и при \(x = \frac{8}{5}\). В точке \(x = 2\) производной не существует, но это конец области определения, а не внутренняя её точка, поэтому критической точкой она не является. Значит, критические точки — \(0\) и \(\frac{8}{5}\).
Знаменатель \(2\sqrt{2 - x}\) положителен при \(x < 2\), поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \(x(8 - 5x)\): производная отрицательна при \(x < 0\), положительна при \(0 < x < \frac{8}{5}\) и отрицательна при \(\frac{8}{5} < x < 2\).
Функция непрерывна в точке \(x = 2\), поэтому конец \(2\) входит в промежуток убывания. Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{8}{5};\ 2\right]\) и возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{8}{5}\right]\).
При переходе через точку \(x = 0\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = 0\); при переходе через точку \(x = \frac{8}{5}\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = \frac{8}{5}\).
Ответ: 1) функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 1]\) и \([5;\ +\infty)\), убывает на каждом из промежутков \([1;\ 3)\) и \((3;\ 5]\); \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = 5\); 2) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{8}{5};\ 2\right]\), возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{8}{5}\right]\); \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{8}{5}\).
На рисунке изображён график производной, а не самой функции \(f\).
1) Критическими точками функции называют внутренние точки её области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Функция \(f\) определена на \(\mathbf{R}\), поэтому внутренней является каждая точка её области определения.
График производной имеет с осью абсцисс общие точки при \(x = -2\) (касание сверху), \(x = 3\) и \(x = 7\) (пересечения); в этих точках \(f'(x) = 0\).
При \(x = 2\) график производной разорван: слева от этой точки значения производной неограниченно возрастают, а справа она приходит из отрицательных значений. Значит, производной в точке \(x = 2\) не существует, а сама точка \(2\) — внутренняя точка области определения функции \(f\), поэтому она тоже критическая.
Значит, критические точки функции \(f\) — числа \(-2\); \(2\); \(3\); \(7\).
2) По рисунку производная положительна на промежутках \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\) и \((3;\ 7)\), отрицательна на промежутках \((2;\ 3)\) и \((7;\ +\infty)\).
При переходе через точку \(x = -2\) производная знак не меняет: она положительна и слева, и справа, поэтому функция \(f\) по обе стороны от этой точки возрастает, и точкой экстремума точка \(-2\) не является.
При переходе через точку \(x = 2\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 2\).
При переходе через точку \(x = 3\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = 3\).
При переходе через точку \(x = 7\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 7\).
Ответ: 1) критические точки функции \(f\) — числа \(-2\); \(2\); \(3\); \(7\); 2) точки экстремума: \(x_{\max} = 2\), \(x_{\min} = 3\) и \(x_{\max} = 7\).
Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).
По теореме о производной сложной функции и формуле синуса двойного угла получаем: \(f'(x) = 2\sin x\cos x - (3a + 2) = \sin 2x - (3a + 2)\).
Производная существует при всех значениях \(x\), поэтому критические точки функции \(f\) — это корни уравнения \(\sin 2x = 3a + 2\).
1) Уравнение \(\sin 2x = 3a + 2\) не имеет корней тогда и только тогда, когда \(|3a + 2| > 1\).
Из неравенства \(3a + 2 > 1\) получаем \(a > -\frac{1}{3}\), из неравенства \(3a + 2 < -1\) получаем \(a < -1\).
Следовательно, критических точек у функции \(f\) нет при \(a < -1\) и при \(a > -\frac{1}{3}\).
2) Если \(|3a + 2| > 1\), то критических точек нет, а значит, нет и точек экстремума.
Пусть \(|3a + 2| = 1\). При \(3a + 2 = 1\), то есть при \(a = -\frac{1}{3}\), имеем \(f'(x) = \sin 2x - 1 \leqslant 0\) при всех \(x\); при \(3a + 2 = -1\), то есть при \(a = -1\), имеем \(f'(x) = \sin 2x + 1 \geqslant 0\) при всех \(x\). В обоих случаях производная обращается в нуль, то есть критические точки есть, но знака своего она не меняет, поэтому ни одна из них точкой экстремума не является — так же, как \(x_0 = 0\) для функции \(y = x^3\).
Пусть \(|3a + 2| < 1\). Обозначим \(t_0 = \arcsin(3a + 2)\); тогда \(-\frac{\pi}{2} < t_0 < \frac{\pi}{2}\) и \(\sin t_0 = 3a + 2\). На промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) синус возрастает, поэтому в некоторой окрестности точки \(t_0\) выполняется \(\sin t < 3a + 2\) при \(t < t_0\) и \(\sin t > 3a + 2\) при \(t > t_0\). Значит, при переходе через точку \(x_0 = \frac{t_0}{2}\) производная \(f'(x) = \sin 2x - (3a + 2)\) меняет знак с минуса на плюс, то есть \(x_0\) — точка минимума функции \(f\), и точки экстремума существуют.
Следовательно, точек экстремума у функции \(f\) нет тогда и только тогда, когда \(|3a + 2| \geqslant 1\), то есть при \(a \leqslant -1\) и при \(a \geqslant -\frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \(a < -1\) или \(a > -\frac{1}{3}\); 2) \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant -\frac{1}{3}\).
