Самостоятельная работа 43 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Область определения функции: знаменатель не обращается в нуль при \(x \ne -2\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)\).

По правилу дифференцирования частного при \(x \ne -2\) получаем:

\[\begin{aligned} &f'(x) = \frac{(x^2 - 3)'(x + 2) - (x + 2)'(x^2 - 3)}{(x + 2)^2} = {} \\ &= \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 3)}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2}. \end{aligned}\]

Производная существует во всех точках области определения; она равна нулю при \(x = -3\) и при \(x = -1\). Значит, критические точки функции — числа \(-3\) и \(-1\). Число \(-2\) области определения не принадлежит, поэтому критической точкой оно не является.

Знаменатель \((x + 2)^2\) положителен при всех \(x\) из области определения, поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \((x + 1)(x + 3)\). Методом интервалов исследуем знак производной в окрестностях критических точек: при \(x < -3\) оба множителя отрицательны и \(f'(x) > 0\); при \(-3 < x < -1\) множитель \(x + 3\) положителен, а множитель \(x + 1\) отрицателен, и \(f'(x) < 0\); при \(x > -1\) оба множителя положительны и \(f'(x) > 0\).

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -3]\) и \([-1;\ +\infty)\) и убывает на каждом из промежутков \([-3;\ -2)\) и \((-2;\ -1]\). Два промежутка убывания в один не объединяются: число \(-2\) в область определения не входит.

При переходе через точку \(-3\) производная меняет знак с плюса на минус, при переходе через точку \(-1\) — с минуса на плюс. Получаем: \(x_{\max} = -3\), \(x_{\min} = -1\).

2) Область определения функции: \(4 - x \geqslant 0\), откуда \(D(f) = (-\infty;\ 4]\).

При \(x < 4\) по правилу дифференцирования произведения и по теореме о производной сложной функции получаем:

\[\begin{aligned} &f'(x) = (x^2)' \cdot \sqrt{4 - x} + x^2 \cdot \left(\sqrt{4 - x}\right)' = {} \\ &= 2x\sqrt{4 - x} + x^2 \cdot \frac{(4 - x)'}{2\sqrt{4 - x}} = 2x\sqrt{4 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{4 - x}} = {} \\ &= \frac{4x(4 - x) - x^2}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{x(16 - 5x)}{2\sqrt{4 - x}}. \end{aligned}\]

Производная равна нулю при \(x = 0\) и при \(x = \frac{16}{5}\). В точке \(x = 4\) производной нет, но число \(4\) — конец области определения, а не внутренняя её точка, поэтому критической точкой оно не является. Значит, критические точки функции — числа \(0\) и \(\frac{16}{5}\).

Знаменатель \(2\sqrt{4 - x}\) положителен при \(x < 4\), поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \(x(16 - 5x)\). Исследуем знак производной: при \(x < 0\) первый множитель отрицателен, второй положителен и \(f'(x) < 0\); при \(0 < x < \frac{16}{5}\) оба множителя положительны и \(f'(x) > 0\); при \(\frac{16}{5} < x < 4\) первый множитель положителен, второй отрицателен и \(f'(x) < 0\).

Функция \(f\) непрерывна на всей области определения, в том числе в точке \(4\), поэтому эта точка входит в промежуток убывания. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{16}{5};\ 4\right]\) и возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{16}{5}\right]\).

При переходе через точку \(0\) производная меняет знак с минуса на плюс, при переходе через точку \(\frac{16}{5}\) — с плюса на минус. Получаем: \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{16}{5}\).

Ответ: 1) функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -3]\) и \([-1;\ +\infty)\), убывает на каждом из промежутков \([-3;\ -2)\) и \((-2;\ -1]\); \(x_{\max} = -3\), \(x_{\min} = -1\); 2) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{16}{5};\ 4\right]\), возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{16}{5}\right]\); \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{16}{5}\).

2. На рисунке 7 изображён график производной функции \(f\), определённой на \(\mathbf{R}\). Укажите: 1) критические точки функции \(f\); 2) точки экстремума функции \(f\).

1) Критическими точками функции называют внутренние точки её области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Функция \(f\) определена на \(\mathbf{R}\), поэтому каждая точка её области определения внутренняя, и критической может оказаться любая из них.

На рисунке график производной имеет с осью абсцисс три общие точки: он касается оси при \(x = -5\), пересекает её при \(x = 0\) и при \(x = 2\). В этих точках \(f'(x) = 0\).

Кроме того, при \(x = 1\) график производной разорван: обе ветви уходят вверх, и значения производной в этой точке нет. Значит, функция \(f\) не является дифференцируемой в точке \(1\), а сама точка \(1\) — внутренняя точка области определения, то есть тоже критическая.

Критические точки функции \(f\): \(-5\); \(0\); \(1\); \(2\).

2) Точки экстремума следует искать среди критических точек, для каждой из них выясняя, меняет ли производная знак при переходе через эту точку.

Слева и справа от точки \(-5\) график производной лежит ниже оси абсцисс, а в самой точке касается её: производная отрицательна и слева, и справа. Знак при переходе через точку \(-5\) не меняется, функция \(f\) убывает и слева, и справа от неё, поэтому точкой экстремума точка \(-5\) не является.

При переходе через точку \(0\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, \(x_{\min} = 0\).

Между точками \(0\) и \(1\), а также между точками \(1\) и \(2\) график производной лежит выше оси абсцисс: производная положительна и слева, и справа от точки \(1\). Знак при переходе через неё не меняется, функция \(f\) возрастает и слева, и справа от точки \(1\), поэтому точкой экстремума точка \(1\) не является.

При переходе через точку \(2\) производная меняет знак с плюса на минус, значит, \(x_{\max} = 2\).

Ответ: 1) критические точки: \(-5\); \(0\); \(1\); \(2\); 2) \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = 2\).

Область определения функции — \(D\,(f) = \mathbf{R}\). По теореме о производной сложной функции и по формуле синуса двойного угла получаем:

\[f'(x) = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (2a + 1) = 2\sin x\cos x - (2a + 1) = \sin 2x - (2a + 1).\]

Производная существует при всех \(x\), поэтому критические точки функции \(f\) — это корни уравнения \(\sin 2x = 2a + 1\).

1) Уравнение \(\sin 2x = 2a + 1\) не имеет корней тогда и только тогда, когда \(|2a + 1| > 1\), то есть когда \(2a + 1 > 1\) или \(2a + 1 < -1\). Отсюда \(a > 0\) или \(a < -1\).

Значит, критических точек у функции \(f\) нет при \(a < -1\) и при \(a > 0\).

2) Точки экстремума следует искать среди критических точек, поэтому при \(a < -1\) и при \(a > 0\) точек экстремума у функции \(f\) нет.

Пусть \(|2a + 1| = 1\). При \(a = 0\) имеем \(f'(x) = \sin 2x - 1 \leqslant 0\) при всех \(x\); при \(a = -1\) имеем \(f'(x) = \sin 2x + 1 \geqslant 0\) при всех \(x\). В обоих случаях критические точки есть (производная в них обращается в нуль), но при переходе через каждую из них производная знак не меняет: слева и справа от такой точки функция \(f\) убывает (соответственно возрастает). Значит, точек экстремума нет и при \(a = -1\), и при \(a = 0\).

Пусть теперь \(|2a + 1| < 1\). Функция \(y = \sin 2x\) на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4}\right]\) возрастает от \(-1\) до \(1\), так как здесь её аргумент \(2x\) пробегает отрезок \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), на котором возрастает синус. Поэтому существует такое число \(x_0\) из интервала \(\left(-\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4}\right)\), что \(\sin 2x_0 = 2a + 1\). При \(-\frac{\pi}{4} < x < x_0\) выполняется неравенство \(\sin 2x < 2a + 1\), то есть \(f'(x) < 0\), а при \(x_0 < x < \frac{\pi}{4}\) выполняется неравенство \(f'(x) > 0\). Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, точка \(x_0\) — точка минимума, и точки экстремума у функции \(f\) есть.

Следовательно, точек экстремума нет тогда и только тогда, когда \(|2a + 1| \geqslant 1\), то есть при \(a \leqslant -1\) и при \(a \geqslant 0\).

Ответ: 1) критических точек нет при \(a < -1\) и при \(a > 0\); 2) точек экстремума нет при \(a \leqslant -1\) и при \(a \geqslant 0\).