Самостоятельная работа 44 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдём критические точки:

\[f'(x) = x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3).\]

Производная существует при всех \(x\) и обращается в нуль при \(x = -5\) и при \(x = 3\). Следовательно, функция \(f\) имеет две критические точки, а промежутку \([0;\ 4]\) принадлежит одна: \(x = 3\).

Имеем: \(f(3) = 9 + 9 - 45 + 7 = -20\), \(f(0) = 7\), \(f(4) = \frac{64}{3} + 16 - 60 + 7 = -\frac{47}{3}\).

Сравним \(-20\) и \(-\frac{47}{3}\): \(-20 = -\frac{60}{3} < -\frac{47}{3}\).

Следовательно, \(\max\limits_{[0;\ 4]} f(x) = f(0) = 7\), \(\min\limits_{[0;\ 4]} f(x) = f(3) = -20\).

2) Найдём область определения: \(5 - 4x - x^2 \geqslant 0\); \(x^2 + 4x - 5 \leqslant 0\); \((x + 5)(x - 1) \leqslant 0\), откуда \(D(f) = [-5;\ 1]\). Отрезок \([-3;\ 0]\) лежит в области определения, и на нём функция непрерывна.

При \(-5 < x < 1\) по теореме о производной сложной функции получаем:

\[f'(x) = \frac{(5 - 4x - x^2)'}{2\sqrt{5 - 4x - x^2}} = \frac{-4 - 2x}{2\sqrt{5 - 4x - x^2}} = \frac{-(2 + x)}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}.\]

Производная обращается в нуль при \(x = -2\); промежутку \([-3;\ 0]\) эта критическая точка принадлежит.

Имеем: \(f(-2) = \sqrt{5 + 8 - 4} = \sqrt{9} = 3\), \(f(-3) = \sqrt{5 + 12 - 9} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(f(0) = \sqrt{5}\).

Сравним \(2\sqrt{2} = \sqrt{8}\) и \(\sqrt{5}\) по подкоренным выражениям: \(5 < 8\), поэтому \(\sqrt{5} < 2\sqrt{2}\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-3;\ 0]} f(x) = f(-2) = 3\), \(\min\limits_{[-3;\ 0]} f(x) = f(0) = \sqrt{5}\).

3) Раскроем модуль по промежуткам. При \(-1 \leqslant x \leqslant 0\) имеем \(|x| = -x\), поэтому \(f(x) = x^2 + 10x + 21\) и \(f'(x) = 2x + 10 \geqslant 8 > 0\). При \(0 \leqslant x \leqslant 2\) имеем \(|x| = x\), поэтому \(f(x) = x^2 - 10x + 21\) и \(f'(x) = 2x - 10 \leqslant -6 < 0\). Ни на одном из этих промежутков производная в нуль не обращается.

В точке \(x = 0\) производной не существует: слева от нуля она равна \(2x + 10\) и стремится к \(10\), а справа равна \(2x - 10\) и стремится к \(-10\) (так же ведёт себя производная функции \(y = |x|\) в точке \(0\)). Точка \(0\) — внутренняя точка области определения, поэтому она критическая.

Следовательно, отрезку \([-1;\ 2]\) принадлежит одна критическая точка: \(x = 0\).

Имеем: \(f(0) = 21\), \(f(-1) = 1 - 10 + 21 = 12\), \(f(2) = 4 - 20 + 21 = 5\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(0) = 21\), \(\min\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(2) = 5\).

Ответ: 1) наибольшее значение \(7\), наименьшее значение \(-20\); 2) наибольшее значение \(3\), наименьшее значение \(\sqrt{5}\); 3) наибольшее значение \(21\), наименьшее значение \(5\).

Дано:
\(R = 4\sqrt{5}\) см — радиус полукруга
прямоугольник вписан в полукруг: одна его сторона лежит на диаметре, две вершины лежат на дуге
периметр прямоугольника — наибольший

Найти: стороны прямоугольника.

Решение: Две вершины прямоугольника лежат на дуге, а противолежащая им сторона — на диаметре, поэтому прямоугольник симметричен относительно перпендикуляра к диаметру, проведённого через центр полукруга.

Пусть половина стороны, лежащей на диаметре, равна \(x\) см. Тогда сама эта сторона равна \(2x\) см. Вершина, лежащая на дуге, удалена от центра на \(4\sqrt{5}\) см, поэтому по теореме Пифагора вторая сторона прямоугольника равна \(\sqrt{80 - x^2}\) см. Из условия задачи следует, что значения переменной удовлетворяют неравенству \(0 < x < 4\sqrt{5}\), то есть принадлежат промежутку \(\left(0;\ 4\sqrt{5}\right)\).

Периметр прямоугольника равен \(P(x) = 2 \cdot 2x + 2\sqrt{80 - x^2} = 4x + 2\sqrt{80 - x^2}\), и задача свелась к нахождению наибольшего значения функции \(P\) на интервале \(\left(0;\ 4\sqrt{5}\right)\). Рассмотрим непрерывную функцию \(f(x) = 4x + 2\sqrt{80 - x^2}\), \(D(f) = \left[0;\ 4\sqrt{5}\right]\), и будем искать её наибольшее значение на промежутке \(\left[0;\ 4\sqrt{5}\right]\).

Найдём критические точки функции \(f\). При \(0 < x < 4\sqrt{5}\) имеем:

\[f'(x) = 4 + 2 \cdot \frac{(80 - x^2)'}{2\sqrt{80 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{80 - x^2}}.\]

Решим уравнение \(f'(x) = 0\): \(\frac{2x}{\sqrt{80 - x^2}} = 4\); \(2\sqrt{80 - x^2} = x\). Обе части последнего равенства неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: \(4(80 - x^2) = x^2\); \(5x^2 = 320\); \(x^2 = 64\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = 8\), причём \(8 < 4\sqrt{5}\), так как \(64 < 80\). Значит, промежутку \(\left[0;\ 4\sqrt{5}\right]\) принадлежит одна критическая точка \(x = 8\).

Имеем: \(f(8) = 32 + 2\sqrt{80 - 64} = 32 + 8 = 40\), \(f(0) = 2\sqrt{80} = 8\sqrt{5}\), \(f\left(4\sqrt{5}\right) = 16\sqrt{5}\). Сравним значения: \(8\sqrt{5} < 16\sqrt{5}\) и \(16\sqrt{5} = \sqrt{1280} < \sqrt{1600} = 40\).

Следовательно, \(\max\limits_{\left[0;\ 4\sqrt{5}\right]} f(x) = f(8) = 40\), то есть функция \(P\) на интервале \(\left(0;\ 4\sqrt{5}\right)\) принимает наибольшее значение при \(x = 8\).

Тогда сторона, лежащая на диаметре, равна \(2 \cdot 8 = 16\) (см), а вторая сторона равна \(\sqrt{80 - 64} = 4\) (см).

Ответ: \(16\) см и \(4\) см.