Самостоятельная работа 45 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По теореме о производной сложной функции \(y' = 4(5x - 2)^3 \cdot (5x - 2)' = 4(5x - 2)^3 \cdot 5 = 20(5x - 2)^3\).

Вторая производная — это производная функции \(y'\), и её находим по той же теореме: \(y'' = 20 \cdot 3(5x - 2)^2 \cdot (5x - 2)' = 60(5x - 2)^2 \cdot 5 = 300(5x - 2)^2\).

2) По правилу дифференцирования произведения \(y' = ((x - 1)^2)'\sin x + (x - 1)^2(\sin x)' = 2(x - 1)\sin x + (x - 1)^2\cos x\).

Каждое из двух слагаемых снова дифференцируем как произведение: \[\begin{aligned} y'' &= (2(x - 1))'\sin x + 2(x - 1)(\sin x)' + ((x - 1)^2)'\cos x + (x - 1)^2(\cos x)' = {} \\ &= 2\sin x + 2(x - 1)\cos x + 2(x - 1)\cos x - (x - 1)^2\sin x = {} \\ &= 2\sin x + 4(x - 1)\cos x - (x - 1)^2\sin x. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(y'' = 300(5x - 2)^2\); 2) \(y'' = 2\sin x + 4(x - 1)\cos x - (x - 1)^2\sin x\).

Дано:
\(m = 2\) кг
\(s(t) = t^3 - 2t + 3\) (м)
\(t = 5\) с

Найти: \(F(5)\) — силу, действующую на тело через \(5\) с после начала движения.

Решение:
Мгновенная скорость движения — производная закона движения: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 2\) (м/с).

Ускорение движения — производная скорости, то есть вторая производная закона движения: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t\) (м/с²).

Через \(5\) с после начала движения \(a(5) = 6 \cdot 5 = 30\) (м/с²) — ускорение тела в этот момент.

Тогда \(F(5) = ma(5) = 2 \cdot 30 = 60\) (Н) — сила, действующая на тело.

Ответ: \(60\) Н.

1) Область определения функции \(y = x^2 + \sqrt{x + 4}\) задаётся условием \(x + 4 \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [-4;\ +\infty)\).

При \(x > -4\) по теореме о производной сложной функции имеем: \(y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}\), то есть \(y' = 2x + \frac{1}{2}(x + 4)^{-\frac{1}{2}}\). Отсюда \[y'' = 2 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x + 4)^{-\frac{3}{2}} = 2 - \frac{1}{4\sqrt{(x + 4)^3}}.\]

Равенство \(y'' = 0\) означает, что \(4\sqrt{(x + 4)^3} = \frac{1}{2}\), то есть \((x + 4)^3 = \frac{1}{64}\), откуда \(x + 4 = \frac{1}{4}\) и \(x = -3{,}75\).

Неравенство \(y'' > 0\) равносильно неравенству \(\frac{1}{4\sqrt{(x + 4)^3}} < 2\), у которого при \(x > -4\) обе части положительны, поэтому оно равносильно неравенству \(4\sqrt{(x + 4)^3} > \frac{1}{2}\), то есть \((x + 4)^3 > \frac{1}{64}\), откуда \(x > -3{,}75\). Точно так же \(y'' < 0\) при \(-4 < x < -3{,}75\).

Следовательно, функция выпуклая вверх на промежутке \((-4;\ -3{,}75]\) и выпуклая вниз на промежутке \([-3{,}75;\ +\infty)\). Точку \(x = -4\) в промежуток выпуклости не включаем: в ней функция не дифференцируема (касательная к графику вертикальна), а выпуклость определена для функции, дифференцируемой на промежутке.

На промежутках \((-4;\ -3{,}75]\) и \([-3{,}75;\ +\infty)\) функция имеет разный характер выпуклости. В точке с абсциссой \(x_0 = -3{,}75\) к графику функции можно провести касательную, поскольку \(y'(-3{,}75) = 2 \cdot (-3{,}75) + \frac{1}{2\sqrt{0{,}25}} = -7{,}5 + 1 = -6{,}5\). Следовательно, \(x_0 = -3{,}75\) является точкой перегиба функции.

2) Функция \(y = 7x^9 - 27x^8 + 4x - 2\) определена на множестве действительных чисел. Имеем: \(y' = 63x^8 - 216x^7 + 4\); \(y'' = 504x^7 - 1512x^6 = 504x^6(x - 3)\).

Множитель \(504x^6\) положителен при всех \(x \ne 0\) и обращается в нуль при \(x = 0\). Поэтому \(y'' < 0\) при \(x < 3\), \(x \ne 0\), и \(y'' > 0\) при \(x > 3\), то есть \(y'' \leqslant 0\) на промежутке \((-\infty;\ 3]\) и \(y'' \geqslant 0\) на промежутке \([3;\ +\infty)\).

Следовательно, функция выпуклая вверх на промежутке \((-\infty;\ 3]\) и выпуклая вниз на промежутке \([3;\ +\infty)\). При переходе через точку \(x = 0\) вторая производная знак не меняет, поэтому промежуток выпуклости эта точка не разрывает и точкой перегиба не является.

На промежутках \((-\infty;\ 3]\) и \([3;\ +\infty)\) функция имеет разный характер выпуклости, а в точке с абсциссой \(x_0 = 3\) к её графику можно провести касательную, так как функция дифференцируема на множестве действительных чисел. Следовательно, \(x_0 = 3\) является точкой перегиба функции.

Ответ: 1) функция выпуклая вверх на промежутке \((-4;\ -3{,}75]\), выпуклая вниз на промежутке \([-3{,}75;\ +\infty)\), точка перегиба \(x_0 = -3{,}75\); 2) функция выпуклая вверх на промежутке \((-\infty;\ 3]\), выпуклая вниз на промежутке \([3;\ +\infty)\), точка перегиба \(x_0 = 3\).