Самостоятельная работа 46 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Рассмотрим функцию \(f(x) = 2x^3 + 3x^2\): число корней данного уравнения равно числу общих точек графика функции \(f\) и прямой \(y = a\).

Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

Имеем: \(f'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x + 1)\).

Следовательно, функция \(f\) имеет две критические точки: \(-1\) и \(0\). Производная положительна при \(x < -1\) и при \(x > 0\), отрицательна при \(-1 < x < 0\). Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ +\infty)\), убывает на промежутке \([-1;\ 0]\), \(x_{\max} = -1\), \(x_{\min} = 0\). Имеем: \(f(-1) = 1\), \(f(0) = 0\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции и прямые \(y = a\) в характерных положениях.

Функция \(f\) непрерывна, поэтому на каждом из промежутков возрастания и убывания она принимает все значения между своими крайними значениями на этом промежутке, и притом каждое только один раз. При неограниченном убывании аргумента значения функции становятся меньше любого наперёд заданного числа, а при неограниченном возрастании аргумента — больше любого наперёд заданного числа. Поэтому на промежутке \((-\infty;\ -1]\) функция принимает все значения, не превосходящие \(1\); на промежутке \([-1;\ 0]\) — все значения от \(0\) до \(1\); на промежутке \([0;\ +\infty)\) — все значения, не меньшие \(0\).

Определяем количество корней уравнения \(f(x) = a\) в зависимости от значения параметра:

если \(a < 0\), то общая точка есть только на промежутке \((-\infty;\ -1]\), а если \(a > 1\) — только на промежутке \([0;\ +\infty)\); в обоих случаях уравнение имеет один корень;

если \(a = 0\), то корни \(-\frac{3}{2}\) и \(0\) (на промежутках \([-1;\ 0]\) и \([0;\ +\infty)\) общий корень \(0\) один и тот же), а если \(a = 1\), то корни \(-1\) и \(\frac{1}{2}\); в обоих случаях уравнение имеет два корня;

если \(0 < a < 1\), то на каждом из трёх промежутков есть по одному корню, и все они различны, — уравнение имеет три корня.

Замечание. Из решения данной задачи исключены пункты 2—4, 7 плана исследования свойств функции: свойства функции, которые исследуются в этих пунктах, не используются при определении количества корней уравнения \(f(x) = a\).

Ответ: если \(a < 0\) или \(a > 1\), то \(1\) корень; если \(a = 0\) или \(a = 1\), то \(2\) корня; если \(0 < a < 1\), то \(3\) корня.

1. Знаменатель \(x^2 + 25\) положителен при всех значениях \(x\), поэтому функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

2. Имеем: \(f(-x) = \frac{10 \cdot (-x)}{(-x)^2 + 25} = -\frac{10x}{x^2 + 25} = -f(x)\). Следовательно, функция \(f\) нечётная и её график симметричен относительно начала координат.

3—4. Дробь равна нулю только при \(10x = 0\), поэтому \(x = 0\) — единственный нуль функции. Знаменатель положителен, поэтому знак функции совпадает со знаком числителя: \(f(x) > 0\) при \(x \in (0;\ +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty;\ 0)\).

5—6. По правилу дифференцирования частного получаем:

\[f'(x) = \frac{10(x^2 + 25) - 10x \cdot 2x}{(x^2 + 25)^2} = \frac{10(25 - x^2)}{(x^2 + 25)^2} = \frac{-10(x - 5)(x + 5)}{(x^2 + 25)^2}.\]

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(-10(x - 5)(x + 5)\): производная положительна при \(-5 < x < 5\) и отрицательна при \(x < -5\) и при \(x > 5\). Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на промежутке \([-5;\ 5]\), убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -5]\) и \([5;\ +\infty)\), \(x_{\min} = -5\), \(x_{\max} = 5\). Имеем: \(f(-5) = -1\), \(f(5) = 1\).

7. Имеем: \(f''(x) = \frac{-20x(x^2 + 25)^2 - 10(25 - x^2) \cdot 2(x^2 + 25) \cdot 2x}{(x^2 + 25)^4}\). Упростив дробь, получим \(f''(x) = \frac{20x(x^2 - 75)}{(x^2 + 25)^3}\).

Знаменатель положителен, поэтому знак второй производной совпадает со знаком произведения \(20x(x^2 - 75)\), которое обращается в нуль при \(x = -5\sqrt{3}\), \(x = 0\) и \(x = 5\sqrt{3}\). Проверим знак пробными точками: \(f''(-10) = \frac{20 \cdot (-10) \cdot 25}{125^3} < 0\), \(f''(-1) = \frac{20 \cdot (-1) \cdot (-74)}{26^3} > 0\), \(f''(1) = \frac{20 \cdot 1 \cdot (-74)}{26^3} < 0\), \(f''(10) = \frac{20 \cdot 10 \cdot 25}{125^3} > 0\).

Исследовав знак второй производной, приходим к выводу, что функция \(f\) является выпуклой вверх на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -5\sqrt{3}\,\right]\) и \(\left[0;\ 5\sqrt{3}\,\right]\) и выпуклой вниз на каждом из промежутков \(\left[-5\sqrt{3};\ 0\right]\) и \(\left[5\sqrt{3};\ +\infty\right)\). Функция дифференцируема на \(\mathbf{R}\), поэтому в точках с абсциссами \(-5\sqrt{3}\), \(0\) и \(5\sqrt{3}\) к её графику можно провести касательную; характер выпуклости в каждой из них меняется, значит, все три точки являются точками перегиба. Имеем: \(f\left(-5\sqrt{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(f(0) = 0\), \(f\left(5\sqrt{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Если значения аргумента выбирать всё бо́льшими и бо́льшими, то значения функции всё меньше отличаются от нуля: \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{10x}{x^2 + 25} = 0\). Значит, прямая \(y = 0\) является горизонтальной асимптотой графика функции \(f\) при \(x \to +\infty\); аналогично она является горизонтальной асимптотой и при \(x \to -\infty\). Вертикальных асимптот график не имеет, потому что \(x^2 + 25 \ne 0\) при всех значениях \(x\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции.