Контрольная работа 1 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Единственный элемент множества \(\{7\}\) — число 7, оно принадлежит множеству \(\{1,\ 7\}\): утверждение верно.
2) Слева от знака \(\subset\) записано число 1, а не множество: утверждение неверно, верна запись \(1 \in \{1,\ 7\}\).
3) Единственный элемент множества \(\{\varnothing\}\) — пустое множество, а оно не является элементом множества \(\{1,\ 7\}\), элементы которого — числа 1 и 7: утверждение неверно.
4) Пустое множество — подмножество любого множества: утверждение верно.
Ответ: верны утверждения 1) и 4).
1) \(\{9\} \subset \{7,\ 9\}\), а пересечение вложенных множеств равно меньшему из них: утверждение верно.
2) Число 7 множеству \(\{9\}\) не принадлежит, поэтому пересечение равно \(\{9\}\): утверждение неверно.
3) Пересечение любого множества с пустым пусто: \(\{7,\ 9\} \cap \varnothing = \varnothing\), утверждение неверно.
4) Для любого множества \(A\) выполняется равенство \(A \cup \varnothing = A\): утверждение верно.
5) Так как \(\{9\} \subset \{7,\ 9\}\), объединение равно большему из них: утверждение верно.
6) В разности \(\{7,\ 9\} \setminus \{7\}\) остаётся один элемент — число 9: утверждение верно.
Ответ: верны утверждения 1), 4), 5), 6).
\(f(A) = 0\), значит, высказывание \(A\) ложно и \(f\left(\overline{A}\right) = 1\).
Конъюнкция \(\overline{A} \wedge \overline{B}\) ложна, а первое высказывание \(\overline{A}\) истинно; будь истинным и второе, истинной была бы вся конъюнкция. Значит, \(f\left(\overline{B}\right) = 0\).
Отрицание \(\overline{B}\) ложно тогда, когда высказывание \(B\) истинно, поэтому \(f(B) = 1\).
Ответ: \(f(B) = 1\).
1) При \(x = 0\): \(|0| \cdot \left(0^4 + 3\right) = 0 \cdot 3 = 0\), и строгое неравенство \(0 > 0\) не выполняется — с квантором общности высказывание было бы ложным.
При \(x = 1\): \(|1| \cdot \left(1^4 + 3\right) = 1 \cdot 4 = 4\) и \(4 > 0\), поэтому истинно высказывание с квантором существования: \((\exists x \in \mathbf{R})\left(|x|\,\left(x^4 + 3\right) > 0\right)\).
2) При любом \(n \in \mathbf{N}\) верно равенство \[6^n - 1 = 5\left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right).\] Проверим его прямым умножением, записав множитель 5 в виде \(6 - 1\): \[\begin{aligned} &5\left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right) = (6 - 1)\left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right) = {} \\ &= \left(6^n + 6^{n-1} + \ldots + 6^2 + 6\right) - \left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right) = 6^n - 1. \end{aligned}\] Второй множитель \(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\) — натуральное число (при \(n = 1\) он равен 1). Значит, \(6^n - 1\) кратно 5 при любом натуральном \(n\), и истинно высказывание с квантором общности: \((\forall n \in \mathbf{N})(6^n - 1\) кратно \(5)\).
Ответ: 1) \(\exists\); 2) \(\forall\).
Дано:
всего на фирме 29 работников
\(A\) — множество работников, знающих немецкий язык, \(n\,(A) = 15\)
\(B\) — множество работников, знающих английский язык, \(n\,(B) = 21\)
\(n\,(A \cap B) = 8\)
Найти: количество работников, не знающих ни одного из этих языков.
Решение: В сумме \(n\,(A) + n\,(B)\) знающие оба языка учтены дважды, поэтому \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B) = 15 + 21 - 8 = 28\) (работников) — знают хотя бы один из этих языков.
\(29 - 28 = 1\) (работник) — не знает ни немецкого, ни английского языка.
Ответ: 1 работник.
Пусть \(M\) — множество чисел вида \(\dfrac{1}{2n}\), где \(n \in \mathbf{N}\). Множество счётно, если между ним и \(\mathbf{N}\) есть взаимно однозначное соответствие.
Каждому натуральному числу \(n\) поставим в соответствие число \(\dfrac{1}{2n}\): \[\begin{array}{cccccc} 1, & 2, & 3, & \ldots, & n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ \dfrac{1}{2}, & \dfrac{1}{4}, & \dfrac{1}{6}, & \ldots, & \dfrac{1}{2n}, & \ldots \end{array}\] Каждому числу \(n \in \mathbf{N}\) отвечает единственное число \(\dfrac{1}{2n}\), и оно принадлежит множеству \(M\).
Задействован каждый элемент множества \(M\): он имеет вид \(\dfrac{1}{2n}\) при некотором натуральном \(n\), и это число единственно — из равенства \(\dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2k}\) следует \(2n = 2k\), то есть \(n = k\).
Значит, соответствие между \(\mathbf{N}\) и \(M\) взаимно однозначное, множества равномощны и множество \(M\) счётно.
Ответ: множество чисел вида \(\dfrac{1}{2n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), счётно.
Каждому подмножеству \(X\) множества \(A\) поставим в соответствие его дополнение \(A \setminus X\).
Если в подмножестве \(X\) ровно \(k\) элементов, то в дополнении их \(25 - k\). Сумма 25 нечётна, поэтому числа \(k\) и \(25 - k\) имеют разную чётность: дополнением подмножества с чётным количеством элементов является подмножество с нечётным количеством элементов, и наоборот.
Пусть \(P\) — множество всех подмножеств с чётным количеством элементов, \(Q\) — с нечётным. Каждому элементу множества \(P\) отвечает единственное подмножество — его дополнение, и оно является элементом множества \(Q\).
Задействован каждый элемент множества \(Q\): подмножеству \(Y\) с нечётным количеством элементов отвечает подмножество \(A \setminus Y\) с чётным количеством элементов, дополнением которого снова является \(Y\); другого элемента множества \(P\), которому соответствует \(Y\), нет, так как разные подмножества имеют разные дополнения.
Значит, соответствие между \(P\) и \(Q\) взаимно однозначное, а между конечными множествами с разным количеством элементов такое соответствие невозможно. Следовательно, \(n\,(P) = n\,(Q)\).
Ответ: подмножеств с чётным количеством элементов столько же, сколько подмножеств с нечётным количеством элементов, — их поровну.
1) Единственный элемент множества \(\{7\}\) — число 7, и оно принадлежит множеству \(\{1,\ 7\}\). Значит, каждый элемент множества \(\{7\}\) является элементом множества \(\{1,\ 7\}\), и утверждение \(\{7\} \subset \{1,\ 7\}\) верно.
2) Слева от знака \(\subset\) записано число 1, а не множество, поэтому утверждение \(1 \subset \{1,\ 7\}\) неверно. Верной является запись \(1 \in \{1,\ 7\}\): число 1 принадлежит множеству \(\{1,\ 7\}\).
3) Единственный элемент множества \(\{\varnothing\}\) — пустое множество, а элементы множества \(\{1,\ 7\}\) — числа 1 и 7. Пустое множество не является элементом множества \(\{1,\ 7\}\), поэтому утверждение \(\{\varnothing\} \subset \{1,\ 7\}\) неверно.
4) Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому утверждение \(\varnothing \subset \{1,\ 7\}\) верно.
Ответ: верны утверждения 1) и 4).
1) Множество \(\{9\}\) является подмножеством множества \(\{7,\ 9\}\), а если одно множество — подмножество другого, то их пересечение равно меньшему из них. Значит, утверждение \(\{7,\ 9\} \cap \{9\} = \{9\}\) верно.
2) Пересечение \(\{7,\ 9\} \cap \{9\}\) состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам; число 7 множеству \(\{9\}\) не принадлежит. Значит, пересечение равно \(\{9\}\), и утверждение \(\{7,\ 9\} \cap \{9\} = \{7,\ 9\}\) неверно.
3) Пересечение любого множества с пустым множеством пусто: \(\{7,\ 9\} \cap \varnothing = \varnothing\). Значит, утверждение \(\{7,\ 9\} \cap \varnothing = \{7,\ 9\}\) неверно.
4) Для любого множества \(A\) выполняется равенство \(A \cup \varnothing = A\), поэтому утверждение \(\{7,\ 9\} \cup \varnothing = \{7,\ 9\}\) верно.
5) Так как \(\{9\} \subset \{7,\ 9\}\), то объединение этих множеств равно большему из них. Значит, утверждение \(\{7,\ 9\} \cup \{9\} = \{7,\ 9\}\) верно.
6) Разность \(\{7,\ 9\} \setminus \{7\}\) состоит из тех элементов множества \(\{7,\ 9\}\), которые не принадлежат множеству \(\{7\}\); такой элемент один — число 9. Значит, утверждение \(\{7,\ 9\} \setminus \{7\} = \{9\}\) верно.
Ответ: верны утверждения 1), 4), 5), 6).
Так как \(f(A) = 0\), то высказывание \(A\) ложно, а отрицание ложного высказывания истинно: \(f\left(\overline{A}\right) = 1\).
Конъюнкция двух высказываний истинна, если истинно каждое из них, и ложна, если хотя бы одно из них ложно. По условию \(f\left(\overline{A} \wedge \overline{B}\right) = 0\), то есть конъюнкция \(\overline{A} \wedge \overline{B}\) ложна. Первое высказывание \(\overline{A}\) истинно, и если бы истинным было и второе, то истинной была бы вся конъюнкция. Значит, второе высказывание ложно: \(f\left(\overline{B}\right) = 0\).
Отрицание \(\overline{B}\) ложно тогда, когда высказывание \(B\) истинно. Значит, \(f(B) = 1\).
Ответ: \(f(B) = 1\).
1) При \(x = 0\) имеем \(|0| \cdot \left(0^4 + 3\right) = 0 \cdot 3 = 0\), и строгое неравенство \(0 > 0\) не выполняется. Значит, высказывание с квантором общности было бы ложным.
При \(x = 1\) имеем \(|1| \cdot \left(1^4 + 3\right) = 1 \cdot 4 = 4\), и неравенство \(4 > 0\) выполняется. Значит, существует значение переменной, при котором предикат превращается в истинное высказывание, и истинным является высказывание с квантором существования: \((\exists x \in \mathbf{R})\left(|x|\,\left(x^4 + 3\right) > 0\right)\).
2) При любом \(n \in \mathbf{N}\) выполняется равенство \[6^n - 1 = 5\left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right).\] Убедимся в этом прямым умножением, записав множитель 5 в виде \(6 - 1\): \[\begin{aligned} &5\left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right) = (6 - 1)\left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right) = {} \\ &= \left(6^n + 6^{n-1} + \ldots + 6^2 + 6\right) - \left(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\right) = 6^n - 1. \end{aligned}\] Все слагаемые, кроме \(6^n\) и \(-1\), взаимно уничтожились.
Второй множитель \(6^{n-1} + 6^{n-2} + \ldots + 6 + 1\) — натуральное число (при \(n = 1\) он равен 1, и равенство принимает вид \(6 - 1 = 5\)). Значит, число \(6^n - 1\) кратно 5 при любом натуральном \(n\), и истинным является высказывание с квантором общности: \((\forall n \in \mathbf{N})(6^n - 1\) кратно \(5)\).
Ответ: 1) \(\exists\); 2) \(\forall\).
Дано:
всего на фирме 29 работников
\(A\) — множество работников, знающих немецкий язык, \(n\,(A) = 15\)
\(B\) — множество работников, знающих английский язык, \(n\,(B) = 21\)
\(n\,(A \cap B) = 8\)
Найти: количество работников, не знающих ни одного из этих языков.
Решение: Работники, знающие хотя бы один из этих языков, составляют множество \(A \cup B\). В сумме \(n\,(A) + n\,(B)\) каждый работник, знающий оба языка, учтён дважды, поэтому количество элементов объединения находят так: \[n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B).\] Значит, \(n\,(A \cup B) = 15 + 21 - 8 = 28\) (работников) — знают хотя бы один из этих языков.
Тогда \(29 - 28 = 1\) (работник) — не знает ни немецкого, ни английского языка.
Ответ: 1 работник.
Обозначим через \(M\) множество чисел вида \(\dfrac{1}{2n}\), где \(n \in \mathbf{N}\). Множество называют счётным, если оно равномощно множеству \(\mathbf{N}\), то есть если между ним и множеством \(\mathbf{N}\) можно установить взаимно однозначное соответствие.
Каждому натуральному числу \(n\) поставим в соответствие число \(\dfrac{1}{2n}\): \[\begin{array}{cccccc} 1, & 2, & 3, & \ldots, & n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ \dfrac{1}{2}, & \dfrac{1}{4}, & \dfrac{1}{6}, & \ldots, & \dfrac{1}{2n}, & \ldots \end{array}\] Каждому числу \(n \in \mathbf{N}\) отвечает единственное число \(\dfrac{1}{2n}\), и это число принадлежит множеству \(M\).
При таком соответствии все элементы множества \(M\) оказываются задействованными: каждый его элемент по определению имеет вид \(\dfrac{1}{2n}\) при некотором натуральном \(n\), и это натуральное число единственно. Действительно, из равенства \(\dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2k}\) следует \(2n = 2k\), то есть \(n = k\).
Значит, между множествами \(\mathbf{N}\) и \(M\) установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому множество \(M\) равномощно множеству \(\mathbf{N}\) и является счётным.
Ответ: множество чисел вида \(\dfrac{1}{2n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), счётно.
Каждому подмножеству \(X\) множества \(A\) поставим в соответствие его дополнение \(A \setminus X\) — множество тех элементов множества \(A\), которые не принадлежат множеству \(X\).
Если подмножество \(X\) содержит \(k\) элементов, то в его дополнении остаётся \(25 - k\) элементов. Числа \(k\) и \(25 - k\) имеют разную чётность, так как их сумма 25 — число нечётное. Значит, дополнением подмножества с чётным количеством элементов является подмножество с нечётным количеством элементов, и наоборот.
Обозначим через \(P\) множество всех подмножеств множества \(A\), содержащих чётное количество элементов, а через \(Q\) — множество всех подмножеств, содержащих нечётное количество элементов. Каждому элементу множества \(P\) поставлено в соответствие единственное подмножество — его дополнение, и оно является элементом множества \(Q\).
При таком соответствии все элементы множества \(Q\) оказываются задействованными: подмножеству \(Y\), содержащему нечётное количество элементов, отвечает подмножество \(A \setminus Y\) с чётным количеством элементов, а дополнением множества \(A \setminus Y\) в множестве \(A\) снова является множество \(Y\). Другого элемента множества \(P\), которому соответствует \(Y\), нет: два разных подмножества имеют разные дополнения.
Значит, между множествами \(P\) и \(Q\) установлено взаимно однозначное соответствие, а между конечными множествами с разным количеством элементов такое соответствие невозможно. Следовательно, \(n\,(P) = n\,(Q)\).
Ответ: подмножеств с чётным количеством элементов столько же, сколько подмножеств с нечётным количеством элементов, — их поровну.
