Самостоятельная работа 43 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Знаменатель обращается в нуль при \(x = 1\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).

По правилу дифференцирования частного получаем:

\[\begin{aligned} &f'(x) = \frac{(x^2 + 3)'(1 - x) - (1 - x)'(x^2 + 3)}{(1 - x)^2} = {} \\ &= \frac{2x(1 - x) + (x^2 + 3)}{(1 - x)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 3}{(1 - x)^2} = \frac{-(x - 3)(x + 1)}{(1 - x)^2}. \end{aligned}\]

Во всех точках области определения производная существует, а обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = 3\). Число \(1\) области определения не принадлежит, поэтому критической точкой оно не является. Значит, критические точки — \(-1\) и \(3\).

Знаменатель \((1 - x)^2\) положителен при всех \(x \ne 1\), поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(-(x - 3)(x + 1)\). Исследуем знак производной по пробным точкам: \(f'(-2) = \frac{-(-5)(-1)}{9} < 0\), \(f'(0) = \frac{-(-3) \cdot 1}{1} > 0\), \(f'(2) = \frac{-(-1) \cdot 3}{1} > 0\), \(f'(4) = \frac{-1 \cdot 5}{9} < 0\).

Следовательно, производная положительна при \(-1 < x < 1\) и при \(1 < x < 3\), отрицательна при \(x < -1\) и при \(x > 3\). Функция возрастает на каждом из промежутков \([-1;\ 1)\) и \((1;\ 3]\) и убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([3;\ +\infty)\); промежутки возрастания разделены точкой \(1\), которая не принадлежит области определения, и в один промежуток не объединяются.

При переходе через точку \(x = -1\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = -1\); при переходе через точку \(x = 3\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 3\).

2) Подкоренное выражение неотрицательно при \(1 - x \geqslant 0\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ 1]\).

При \(x < 1\) по правилу дифференцирования произведения и по теореме о производной сложной функции получаем:

\[\begin{aligned} &f'(x) = (x^2)'\sqrt{1 - x} + x^2\left(\sqrt{1 - x}\right)' = 2x\sqrt{1 - x} + x^2 \cdot \frac{(1 - x)'}{2\sqrt{1 - x}} = {} \\ &= 2x\sqrt{1 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{4x(1 - x) - x^2}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{x(4 - 5x)}{2\sqrt{1 - x}}. \end{aligned}\]

Производная равна нулю при \(x = 0\) и при \(x = \frac{4}{5}\). В точке \(x = 1\) производной не существует, но это конец области определения, а не внутренняя её точка, поэтому критической точкой она не является. Значит, критические точки — \(0\) и \(\frac{4}{5}\).

Знаменатель \(2\sqrt{1 - x}\) положителен при \(x < 1\), поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \(x(4 - 5x)\): производная отрицательна при \(x < 0\), положительна при \(0 < x < \frac{4}{5}\) и отрицательна при \(\frac{4}{5} < x < 1\).

Функция непрерывна в точке \(x = 1\), поэтому конец \(1\) входит в промежуток убывания. Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{4}{5};\ 1\right]\) и возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{4}{5}\right]\).

При переходе через точку \(x = 0\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = 0\); при переходе через точку \(x = \frac{4}{5}\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = \frac{4}{5}\).

Ответ: 1) функция возрастает на каждом из промежутков \([-1;\ 1)\) и \((1;\ 3]\), убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([3;\ +\infty)\); \(x_{\min} = -1\), \(x_{\max} = 3\); 2) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{4}{5};\ 1\right]\), возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{4}{5}\right]\); \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{4}{5}\).

2. На рисунке 28 изображён график производной функции \(f\), определённой на \(\mathbf{R}\). Укажите: 1) критические точки функции \(f\); 2) точки экстремума функции \(f\).

На рисунке изображён график производной, а не самой функции \(f\).

1) Критическими точками функции называют внутренние точки её области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Функция \(f\) определена на \(\mathbf{R}\), поэтому внутренней является каждая точка её области определения.

График производной имеет с осью абсцисс общие точки при \(x = -3\) (касание снизу), \(x = -1\) и \(x = 5\) (пересечения); в этих точках \(f'(x) = 0\).

При \(x = -2\) график производной разорван: и слева, и справа от этой точки значения производной неограниченно убывают. Значит, производной в точке \(x = -2\) не существует, а сама точка \(-2\) — внутренняя точка области определения функции \(f\), поэтому она тоже критическая.

Значит, критические точки функции \(f\) — числа \(-3\); \(-2\); \(-1\); \(5\).

2) По рисунку производная отрицательна на промежутках \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ -2)\), \((-2;\ -1)\) и \((5;\ +\infty)\), положительна на промежутке \((-1;\ 5)\).

При переходе через точку \(x = -3\) производная знак не меняет: она отрицательна и слева, и справа, поэтому функция \(f\) по обе стороны от этой точки убывает, и точкой экстремума точка \(-3\) не является.

При переходе через точку \(x = -2\) производная тоже знак не меняет: она отрицательна и слева, и справа. Функция \(f\) убывает по обе стороны от этой точки, поэтому и точка \(-2\) точкой экстремума не является, хотя производной в ней и не существует.

При переходе через точку \(x = -1\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = -1\).

При переходе через точку \(x = 5\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 5\).

Ответ: 1) критические точки функции \(f\) — числа \(-3\); \(-2\); \(-1\); \(5\); 2) точки экстремума: \(x_{\min} = -1\) и \(x_{\max} = 5\).

Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

По теореме о производной сложной функции и формуле синуса двойного угла получаем: \(f'(x) = -2\sin x\cos x + (5a - 2) = -\sin 2x + (5a - 2)\).

Производная существует при всех значениях \(x\), поэтому критические точки функции \(f\) — это корни уравнения \(\sin 2x = 5a - 2\).

1) Уравнение \(\sin 2x = 5a - 2\) не имеет корней тогда и только тогда, когда \(|5a - 2| > 1\).

Из неравенства \(5a - 2 > 1\) получаем \(a > \frac{3}{5}\), из неравенства \(5a - 2 < -1\) получаем \(a < \frac{1}{5}\).

Следовательно, критических точек у функции \(f\) нет при \(a < \frac{1}{5}\) и при \(a > \frac{3}{5}\).

2) Если \(|5a - 2| > 1\), то критических точек нет, а значит, нет и точек экстремума.

Пусть \(|5a - 2| = 1\). При \(5a - 2 = 1\), то есть при \(a = \frac{3}{5}\), имеем \(f'(x) = 1 - \sin 2x \geqslant 0\) при всех \(x\); при \(5a - 2 = -1\), то есть при \(a = \frac{1}{5}\), имеем \(f'(x) = -1 - \sin 2x \leqslant 0\) при всех \(x\). В обоих случаях производная обращается в нуль, то есть критические точки есть, но знака своего она не меняет, поэтому ни одна из них точкой экстремума не является — так же, как \(x_0 = 0\) для функции \(y = x^3\).

Пусть \(|5a - 2| < 1\). Обозначим \(t_0 = \arcsin(5a - 2)\); тогда \(-\frac{\pi}{2} < t_0 < \frac{\pi}{2}\) и \(\sin t_0 = 5a - 2\). На промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) синус возрастает, поэтому в некоторой окрестности точки \(t_0\) выполняется \(\sin t < 5a - 2\) при \(t < t_0\) и \(\sin t > 5a - 2\) при \(t > t_0\). Значит, при переходе через точку \(x_0 = \frac{t_0}{2}\) производная \(f'(x) = -\sin 2x + (5a - 2)\) меняет знак с плюса на минус, то есть \(x_0\) — точка максимума функции \(f\), и точки экстремума существуют.

Следовательно, точек экстремума у функции \(f\) нет тогда и только тогда, когда \(|5a - 2| \geqslant 1\), то есть при \(a \leqslant \frac{1}{5}\) и при \(a \geqslant \frac{3}{5}\).

Ответ: 1) \(a < \frac{1}{5}\) или \(a > \frac{3}{5}\); 2) \(a \leqslant \frac{1}{5}\) или \(a \geqslant \frac{3}{5}\).