Страница 11 номер 1.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1.8. Точка \(A\) имеет координаты \((1; -1; 0)\). Найдите координаты остальных вершин куба.
Как видно на рисунке, грань \(ABCD\) лежит в плоскости \(xy\), начало координат \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) этой грани, ребро \(AD\) параллельно оси \(y\), ребро \(DC\) — оси \(x\), а боковые рёбра параллельны оси \(z\), и вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) лежат выше плоскости \(xy\).
У всех точек прямой, параллельной оси координат, одинаковы две координаты: у прямой, параллельной оси \(x\), — ординаты и аппликаты, у прямой, параллельной оси \(y\), — абсциссы и аппликаты, у прямой, параллельной оси \(z\), — абсциссы и ординаты. По формуле расстояния между точками расстояние между двумя точками такой прямой равно модулю разности их третьих координат.
Вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат в плоскости \(xy\), поэтому их аппликаты равны нулю. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O(0; 0; 0)\) — середина отрезков \(AC\) и \(BD\). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, значит, соответствующие координаты концов каждого из этих отрезков — противоположные числа, и вершина \(C\), противолежащая вершине \(A(1; -1; 0)\), имеет координаты \((-1; 1; 0)\).
Ребро \(AD\) параллельно оси \(y\), поэтому абсцисса точки \(D\) равна абсциссе точки \(A\), то есть 1. Ребро \(DC\) параллельно оси \(x\), поэтому ордината точки \(D\) равна ординате точки \(C\), то есть 1. Значит, \(D(1; 1; 0)\), а противолежащая ей вершина \(B\) имеет координаты \((-1; -1; 0)\).
Ребро куба \(AD = |1 - (-1)| = 2\) — это модуль разности ординат точек \(A\) и \(D\). Боковые рёбра параллельны оси \(z\), поэтому у каждой вершины верхнего основания абсцисса и ордината — как у вершины нижнего основания на том же боковом ребре, а аппликата больше на длину ребра, то есть равна \(0 + 2 = 2\).
Ответ: \(B(-1; -1; 0)\), \(C(-1; 1; 0)\), \(D(1; 1; 0)\), \(A_1(1; -1; 2)\), \(B_1(-1; -1; 2)\), \(C_1(-1; 1; 2)\), \(D_1(1; 1; 2)\).
Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1.8. Точка \(A\) имеет координаты \((1; -1; 0)\). Найдите координаты остальных вершин куба.
Как видно на рисунке, грань \(ABCD\) лежит в плоскости \(xy\), начало координат \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) этой грани, ребро \(AD\) параллельно оси \(y\), ребро \(DC\) — оси \(x\), а боковые рёбра параллельны оси \(z\), и вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) лежат выше плоскости \(xy\).
Прямая, параллельная оси координат, перпендикулярна двум другим осям и лежит в плоскостях, проведённых через любую её точку перпендикулярно этим осям, поэтому у всех её точек одинаковы две координаты: у прямой, параллельной оси \(x\), — ординаты и аппликаты, у прямой, параллельной оси \(y\), — абсциссы и аппликаты, у прямой, параллельной оси \(z\), — абсциссы и ординаты. По формуле расстояния между точками расстояние между двумя точками такой прямой равно модулю разности их третьих координат.
Вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат в плоскости \(xy\), поэтому их аппликаты равны нулю. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O(0; 0; 0)\) — середина отрезков \(AC\) и \(BD\). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, значит, соответствующие координаты концов каждого из этих отрезков — противоположные числа, и вершина \(C\), противолежащая вершине \(A(1; -1; 0)\), имеет координаты \((-1; 1; 0)\).
Ребро \(AD\) параллельно оси \(y\), поэтому абсцисса точки \(D\) равна абсциссе точки \(A\), то есть 1. Ребро \(DC\) параллельно оси \(x\), поэтому ордината точки \(D\) равна ординате точки \(C\), то есть 1. Значит, \(D(1; 1; 0)\), а противолежащая ей вершина \(B\) имеет координаты \((-1; -1; 0)\).
Ребро куба \(AD = |1 - (-1)| = 2\) — это модуль разности ординат точек \(A\) и \(D\). Боковые рёбра параллельны оси \(z\), поэтому у каждой вершины верхнего основания абсцисса и ордината — как у вершины нижнего основания на том же боковом ребре, а аппликата больше на длину ребра, то есть равна \(0 + 2 = 2\).
Ответ: \(B(-1; -1; 0)\), \(C(-1; 1; 0)\), \(D(1; 1; 0)\), \(A_1(1; -1; 2)\), \(B_1(-1; -1; 2)\), \(C_1(-1; 1; 2)\), \(D_1(1; 1; 2)\).
