Вопросы после параграфа §1 на странице 10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта.
Ответ: прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.
Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, обозначают буквой \(O\). Её называют началом координат.
Ответ: начало координат.
Координатные прямые обозначают буквами \(x\), \(y\) и \(z\), их соответственно называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
Ответ: прямую \(x\) называют осью абсцисс, прямую \(y\) — осью ординат, прямую \(z\) — осью аппликат.
Плоскости, проходящие через пары координатных прямых \(x\) и \(y\), \(x\) и \(z\), \(y\) и \(z\), называют координатными плоскостями.
Ответ: координатная плоскость.
Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством.
Ответ: координатное пространство.
Проведём через точку \(M\) три плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) перпендикулярно осям \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим \(M_x\), \(M_y\) и \(M_z\).
Координаты точек \(M_x\), \(M_y\) и \(M_z\) на осях \(x\), \(y\) и \(z\) называют соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки \(M\) и обозначают буквами \(x\), \(y\) и \(z\). Полученную таким образом упорядоченную тройку чисел \((x; y; z)\) называют координатами точки \(M\) в пространстве и записывают: \(M(x; y; z)\).
Ответ: через точку \(M\) проводят плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), перпендикулярные осям \(x\), \(y\) и \(z\); координата точки \(M_x\), в которой плоскость \(\alpha\) пересекает ось \(x\), — абсцисса \(x\) точки \(M\), координата точки \(M_y\) пересечения плоскости \(\beta\) с осью \(y\) — ордината \(y\), координата точки \(M_z\) пересечения плоскости \(\gamma\) с осью \(z\) — аппликата \(z\); упорядоченную тройку \((x; y; z)\) называют координатами точки \(M\).
Расстояние между двумя точками \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\) можно найти по формуле
\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.\]
Ответ: расстояние между точками \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\) находят по формуле \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
Пусть концы отрезка — точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\). Если точка \(M\), принадлежащая отрезку \(AB\), такова, что \(\frac{AM}{MB} = \frac{m}{n}\), то координаты точки \(M\) имеют вид:
\[M\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}; \frac{ny_1 + my_2}{m + n}; \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}\right).\]
Ответ: точка \(M\) отрезка \(AB\) с концами \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\), для которой \(\frac{AM}{MB} = \frac{m}{n}\), имеет координаты \(\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}; \frac{ny_1 + my_2}{m + n}; \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}\right)\).
Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта.
Ответ: прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.
Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, обозначают буквой \(O\). Её называют началом координат.
Ответ: начало координат.
Координатные прямые обозначают буквами \(x\), \(y\) и \(z\), их соответственно называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
Ответ: прямую \(x\) называют осью абсцисс, прямую \(y\) — осью ординат, прямую \(z\) — осью аппликат.
Плоскости, проходящие через пары координатных прямых \(x\) и \(y\), \(x\) и \(z\), \(y\) и \(z\), называют координатными плоскостями, их соответственно обозначают \(xy\), \(xz\) и \(yz\).
Ответ: координатная плоскость.
Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством. Если оси координат обозначены буквами \(x\), \(y\) и \(z\), то координатное пространство обозначают \(xyz\).
Ответ: координатное пространство.
Проведём через точку \(M\) три плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) перпендикулярно осям \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим \(M_x\), \(M_y\) и \(M_z\).
Координату точки \(M_x\) на оси \(x\) называют абсциссой точки \(M\) и обозначают буквой \(x\). Координату точки \(M_y\) на оси \(y\) называют ординатой точки \(M\) и обозначают буквой \(y\). Координату точки \(M_z\) на оси \(z\) называют аппликатой точки \(M\) и обозначают буквой \(z\). Полученную таким образом упорядоченную тройку чисел \((x; y; z)\) называют координатами точки \(M\) в пространстве и записывают: \(M(x; y; z)\).
Ответ: через точку \(M\) проводят плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), перпендикулярные осям \(x\), \(y\) и \(z\); координата точки \(M_x\), в которой плоскость \(\alpha\) пересекает ось \(x\), — абсцисса \(x\) точки \(M\), координата точки \(M_y\) пересечения плоскости \(\beta\) с осью \(y\) — ордината \(y\), координата точки \(M_z\) пересечения плоскости \(\gamma\) с осью \(z\) — аппликата \(z\); упорядоченную тройку \((x; y; z)\) называют координатами точки \(M\).
Расстояние между двумя точками \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\) можно найти по формуле
\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.\]
Ответ: расстояние между точками \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\) находят по формуле \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
Пусть концы отрезка — точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\). Если точка \(M\), принадлежащая отрезку \(AB\), такова, что \(\frac{AM}{MB} = \frac{m}{n}\), то координаты точки \(M\) имеют вид:
\[M\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}; \frac{ny_1 + my_2}{m + n}; \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}\right).\]
В частности, при \(m = n\) точка \(M\) — середина отрезка \(AB\), и каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Ответ: точка \(M\) отрезка \(AB\) с концами \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\), для которой \(\frac{AM}{MB} = \frac{m}{n}\), имеет координаты \(\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}; \frac{ny_1 + my_2}{m + n}; \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}\right)\).
