Страница 10 номер 1.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Укажите расстояние от точки \(M(4; -5; 2)\) до координатной плоскости: 1) \(xy\); 2) \(xz\); 3) \(yz\).
Плоскости, проведённые через точку \(M(4; -5; 2)\) перпендикулярно осям \(x\), \(y\) и \(z\), пересекают оси в точках \(M_x(4; 0; 0)\), \(M_y(0; -5; 0)\) и \(M_z(0; 0; 2)\).
1) Плоскость, проведённая через точку \(M\) перпендикулярно оси \(z\), отлична от плоскости \(xy\) (точка \(M\) ей не принадлежит) и параллельна ей, так как обе они перпендикулярны оси \(z\). Поэтому все её точки, в том числе \(M\) и \(M_z\), удалены от плоскости \(xy\) на одно и то же расстояние, а для точки \(M_z\) это длина отрезка \(OM_z\) оси \(z\), перпендикулярной плоскости \(xy\). Значит, расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xy\) равно \(OM_z = 2\).
2) Плоскость, проведённая через точку \(M\) перпендикулярно оси \(y\), параллельна плоскости \(xz\), поэтому расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xz\) равно расстоянию от точки \(M_y\) до этой плоскости, то есть \(OM_y = 5\).
3) Плоскость, проведённая через точку \(M\) перпендикулярно оси \(x\), параллельна плоскости \(yz\), поэтому расстояние от точки \(M\) до плоскости \(yz\) равно расстоянию от точки \(M_x\) до этой плоскости, то есть \(OM_x = 4\).
Ответ: расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xy\) равно 2, до плоскости \(xz\) — 5, до плоскости \(yz\) — 4.
Укажите расстояние от точки \(M(4; -5; 2)\) до координатной плоскости: 1) \(xy\); 2) \(xz\); 3) \(yz\).
Плоскости, проведённые через точку \(M(4; -5; 2)\) перпендикулярно осям \(x\), \(y\) и \(z\), пересекают оси в точках \(M_x(4; 0; 0)\), \(M_y(0; -5; 0)\) и \(M_z(0; 0; 2)\). Вместе с координатными плоскостями они ограничивают прямоугольный параллелепипед, у которого \(O\) и \(M\) — противоположные вершины.
1) Плоскость, проведённая через точку \(M\) перпендикулярно оси \(z\), отлична от плоскости \(xy\) (точка \(M\) ей не принадлежит) и параллельна ей, так как обе они перпендикулярны оси \(z\). Поэтому все её точки, в том числе \(M\) и \(M_z\), удалены от плоскости \(xy\) на одно и то же расстояние, а для точки \(M_z\) это длина отрезка \(OM_z\) оси \(z\), перпендикулярной плоскости \(xy\). Значит, расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xy\) равно \(OM_z = 2\).
2) Плоскость, проведённая через точку \(M\) перпендикулярно оси \(y\), параллельна плоскости \(xz\), поэтому расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xz\) равно расстоянию от точки \(M_y\) до этой плоскости, то есть \(OM_y = 5\).
3) Плоскость, проведённая через точку \(M\) перпендикулярно оси \(x\), параллельна плоскости \(yz\), поэтому расстояние от точки \(M\) до плоскости \(yz\) равно расстоянию от точки \(M_x\) до этой плоскости, то есть \(OM_x = 4\).
Ответ: расстояние от точки \(M\) до плоскости \(xy\) равно 2, до плоскости \(xz\) — 5, до плоскости \(yz\) — 4.
