Страница 127 номер 13.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение: 1) \((4 - i)i + (7 - 2i)(3 + i)\); 2) \((1 - \sqrt{2}i)(1 + \sqrt{2}i) + (1 + i)^2\); 3) \((1 - i)^4\); 4) \(\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3\).
1) \[(4 - i)i + (7 - 2i)(3 + i) = 4i + 1 + 21 + 7i - 6i + 2 = 24 + 5i.\]
2) \[\begin{aligned} &(1 - \sqrt{2}i)(1 + \sqrt{2}i) + (1 + i)^2 = 1 - 2i^2 + 1 + 2i + i^2 = {} \\ &= 1 + 2 + 1 + 2i - 1 = 3 + 2i. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &(1 - i)^4 = \left((1 - i)^2\right)^2 = (1 - 2i - 1)^2 = {} \\ &= (-2i)^2 = 4i^2 = -4. \end{aligned}\]
4) Так как \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\), то \[\begin{aligned} &\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3(1 - \sqrt{3}i)^3 = {} \\ &= -\frac{1}{8}(1 - 3\sqrt{3}i + 9i^2 - 3\sqrt{3}i^3) = {} \\ &= -\frac{1}{8}(1 - 3\sqrt{3}i - 9 + 3\sqrt{3}i) = -\frac{1}{8} \cdot (-8) = 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(24 + 5i\); 2) \(3 + 2i\); 3) \(-4\); 4) \(1\).
Упростите выражение: 1) \((4 - i)i + (7 - 2i)(3 + i)\); 2) \((1 - \sqrt{2}i)(1 + \sqrt{2}i) + (1 + i)^2\); 3) \((1 - i)^4\); 4) \(\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3\).
Действия с комплексными числами выполняем по правилам действий с многочленами, заменяя \(i^2\) на \(-1\).
1) \[(4 - i)i + (7 - 2i)(3 + i) = 4i + 1 + 21 + 7i - 6i + 2 = 24 + 5i.\]
2) \[\begin{aligned} &(1 - \sqrt{2}i)(1 + \sqrt{2}i) + (1 + i)^2 = 1 - 2i^2 + 1 + 2i + i^2 = {} \\ &= 1 + 2 + 1 + 2i - 1 = 3 + 2i. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &(1 - i)^4 = \left((1 - i)^2\right)^2 = (1 - 2i - 1)^2 = {} \\ &= (-2i)^2 = 4i^2 = -4. \end{aligned}\]
4) Вынесем за скобки множитель \(-\frac{1}{2}\) и раскроем скобки по формуле куба разности; \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\): \[\begin{aligned} &\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3(1 - \sqrt{3}i)^3 = {} \\ &= -\frac{1}{8}(1 - 3\sqrt{3}i + 9i^2 - 3\sqrt{3}i^3) = {} \\ &= -\frac{1}{8}(1 - 3\sqrt{3}i - 9 + 3\sqrt{3}i) = -\frac{1}{8} \cdot (-8) = 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(24 + 5i\); 2) \(3 + 2i\); 3) \(-4\); 4) \(1\).
