Страница 126 номер 13.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите значение выражения: 1) \(i^{54}\); 2) \(i^{4n}\); 3) \(i^{4n + 1}\), \(n \in \mathbf{N}\).
\(i^2 = -1\), \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\); значит, \((i^4)^n = 1^n = 1\) при любом натуральном \(n\).
1) \(54 = 4 \cdot 13 + 2\): \[i^{54} = i^{4 \cdot 13 + 2} = (i^4)^{13} \cdot i^2 = 1^{13} \cdot (-1) = -1.\]
2) \[i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1.\]
3) \[i^{4n + 1} = (i^4)^n \cdot i = 1 \cdot i = i.\]
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(1\); 3) \(i\).
Найдите значение выражения: 1) \(i^{54}\); 2) \(i^{4n}\); 3) \(i^{4n + 1}\), \(n \in \mathbf{N}\).
Умножение комплексных чисел обладает теми же свойствами, что и умножение действительных чисел, поэтому для степеней числа \(i\) с натуральными показателями \(m\) и \(k\) верны свойства степени: \(i^{m + k} = i^m \cdot i^k\), \((i^m)^k = i^{mk}\). Имеем \(i^2 = -1\), \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\); значит, \((i^4)^n = 1^n = 1\) при любом натуральном \(n\).
1) \(54 = 4 \cdot 13 + 2\): \[i^{54} = i^{4 \cdot 13 + 2} = (i^4)^{13} \cdot i^2 = 1^{13} \cdot (-1) = -1.\]
2) \[i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1.\]
3) \[i^{4n + 1} = (i^4)^n \cdot i = 1 \cdot i = i.\]
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(1\); 3) \(i\).
