Страница 128 номер 13.40, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что: 1) \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\); 2) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\).
1) Так как \(z\overline{z} = |z|^2\) и \(\overline{z_1z_2} = \overline{z}_1\overline{z}_2\), то \[\begin{aligned} &|z_1z_2|^2 = z_1z_2 \cdot \overline{z_1z_2} = z_1z_2 \cdot \overline{z}_1\overline{z}_2 = {} \\ &= z_1\overline{z}_1 \cdot z_2\overline{z}_2 = |z_1|^2 \cdot |z_2|^2. \end{aligned}\] Модули неотрицательны, поэтому из равенства \(|z_1z_2|^2 = (|z_1| \cdot |z_2|)^2\) следует \(|z_1z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\).
2) Пусть \(z_2 \ne 0\) и \(z = \frac{z_1}{z_2}\). Тогда \(z \cdot z_2 = z_1\), и по пункту 1) \(|z| \cdot |z_2| = |z_1|\). Модуль равен нулю только у числа \(0\), поэтому \(|z_2| \ne 0\) и \(|z| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\), то есть \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\).
Ответ: 1) равенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\); 2) равенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2 \ne 0\).
Докажите, что: 1) \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\); 2) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\).
1) Для любого комплексного числа произведение его на сопряжённое равно квадрату его модуля: \(z\overline{z} = |z|^2\); число, сопряжённое произведению, равно произведению сопряжённых: \(\overline{z_1z_2} = \overline{z}_1\overline{z}_2\). Поэтому \[\begin{aligned} &|z_1z_2|^2 = z_1z_2 \cdot \overline{z_1z_2} = z_1z_2 \cdot \overline{z}_1\overline{z}_2 = {} \\ &= z_1\overline{z}_1 \cdot z_2\overline{z}_2 = |z_1|^2 \cdot |z_2|^2. \end{aligned}\] Модули неотрицательны, поэтому из равенства \(|z_1z_2|^2 = (|z_1| \cdot |z_2|)^2\) следует \(|z_1z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\).
2) Пусть \(z_2 \ne 0\) и \(z = \frac{z_1}{z_2}\). По определению частного \(z \cdot z_2 = z_1\), и по доказанному в пункте 1) \(|z| \cdot |z_2| = |z_1|\). Модуль равен нулю только у числа \(0\), поэтому \(|z_2| \ne 0\). Разделив обе части равенства \(|z| \cdot |z_2| = |z_1|\) на действительное число \(|z_2|\), получаем \(|z| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\), т. е. \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\).
Ответ: 1) равенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\); 2) равенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2 \ne 0\).
