Вопросы после параграфа §14 на странице 132, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Что называют комплексной координатой точки? 2. Какую плоскость называют комплексной? 3. Какую запись называют тригонометрической формой комплексного числа?
Число \(z = a + bi\) — это вектор \(\overrightarrow{OZ}\) с координатами \((a;\ b)\), поэтому каждому комплексному числу \(a + bi\) соответствует единственная точка \(Z(a;\ b)\) координатной плоскости, и наоборот. Пишут: \(Z(a + bi)\).
Например, точка \(M\) с декартовыми координатами \((-4;\ 1)\) имеет комплексную координату \(-4 + i\): \(M(-4 + i)\); комплексная координата точки \((0;\ 3)\) — число \(3i\), а точки \((5;\ 0)\) — число \(5\).
Ответ: комплексной координатой точки \(Z(a;\ b)\) координатной плоскости называют комплексное число \(z = a + bi\).
Действительные числа \(a = a + 0i\) изображаются на комплексной плоскости точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа \(bi\) — точками оси ординат; поэтому ось абсцисс называют действительной осью (Re), а ось ординат — мнимой осью (Im).
Например, число \(5\) изображается точкой \((5;\ 0)\) действительной оси, число \(-2i\) — точкой \((0;\ -2)\) мнимой оси, а число \(3 - i\) — точкой \((3;\ -1)\), которая не лежит ни на одной из осей.
Ответ: комплексной называют плоскость, на которой изображают комплексные числа: число \(a + bi\) изображается точкой \((a;\ b)\); ось абсцисс этой плоскости — действительная ось (Re), ось ординат — мнимая ось (Im).
Если \(z = a + bi\), \(z \ne 0\), \(r = |z|\), а \(\varphi\) — один из аргументов числа \(z\), то \(a = r\cos\varphi\) и \(b = r\sin\varphi\), поэтому \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\). У числа \(0\) тригонометрической формы нет: его аргумент не определяют.
Например, у числа \(1 + i\) модуль \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\), а аргументом служит угол \(\frac{\pi}{4}\), так как \(\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\); поэтому \(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\). Запись \(2\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)\), хотя и равна числу \(1 - i\sqrt{3}\), тригонометрической формой не является: между косинусом и синусом стоит знак «−», а не «+».
Ответ: тригонометрической формой комплексного числа \(z \ne 0\) называют его запись в виде \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\), где \(r = |z|\) — модуль, а \(\varphi\) — один из аргументов числа \(z\).
1. Что называют комплексной координатой точки? 2. Какую плоскость называют комплексной? 3. Какую запись называют тригонометрической формой комплексного числа?
Комплексное число \(z = a + bi\) — это вектор \(\overrightarrow{OZ}\) с координатами \((a;\ b)\). Поэтому каждому комплексному числу \(z = a + bi\) соответствует единственная точка \(Z(a;\ b)\) координатной плоскости, и наоборот, каждой точке \(Z(a;\ b)\) соответствует единственное комплексное число \(a + bi\). Комплексное число \(z = a + bi\) называют комплексной координатой точки \(Z(a;\ b)\) и пишут: \(Z(a + bi)\).
Например, точка \(M\) с декартовыми координатами \((-4;\ 1)\) имеет комплексную координату \(-4 + i\), это записывают так: \(M(-4 + i)\). Комплексная координата точки \((0;\ 3)\) — число \(3i\), а точки \((5;\ 0)\) — число \(5\).
Ответ: комплексной координатой точки \(Z(a;\ b)\) координатной плоскости называют комплексное число \(z = a + bi\).
Каждое комплексное число \(z = a + bi\) изображают точкой \(Z(a;\ b)\) координатной плоскости, т. е. точкой, комплексная координата которой равна \(z\). Плоскость, на которой изображают комплексные числа \(z\), называют комплексной плоскостью. Действительные числа \(a = a + 0i\) изображаются на ней точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа \(bi\) — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью и обозначают Re, а ось ординат — мнимой осью и обозначают Im.
Например, на комплексной плоскости число \(5\) изображается точкой \((5;\ 0)\) действительной оси, число \(-2i\) — точкой \((0;\ -2)\) мнимой оси, а число \(3 - i\) — точкой \((3;\ -1)\), которая не лежит ни на одной из осей.
Ответ: комплексной называют плоскость, на которой изображают комплексные числа: число \(a + bi\) изображается точкой \((a;\ b)\); ось абсцисс этой плоскости — действительная ось (Re), ось ординат — мнимая ось (Im).
Пусть \(z = a + bi\), \(z \ne 0\), \(r = |z|\) — модуль числа \(z\), а \(\varphi\) — один из его аргументов. По определению синуса и косинуса угла поворота \(a = r\cos\varphi\) и \(b = r\sin\varphi\), поэтому \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\). Запись комплексного числа \(z \ne 0\) в виде \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\), где \(r\) — модуль, а \(\varphi\) — один из аргументов числа \(z\), называют тригонометрической формой комплексного числа. У числа \(0\) тригонометрической формы нет: его аргумент не определяют.
Например, у числа \(1 + i\) модуль \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\), а аргументом служит угол \(\frac{\pi}{4}\), так как \(\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Поэтому \(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\) — тригонометрическая форма числа \(1 + i\). А запись \(2\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)\), хотя и равна числу \(1 - i\sqrt{3}\), тригонометрической формой не является: в скобках между косинусом и синусом стоит знак «−», а не «+».
Ответ: тригонометрической формой комплексного числа \(z \ne 0\) называют его запись в виде \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\), где \(r = |z|\) — модуль, а \(\varphi\) — один из аргументов числа \(z\).
