Страница 128 номер 13.44, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что если \(x + yi = (a + bi)^n\), то \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n\).
Здесь \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное. Обозначим \(z = a + bi\); тогда \(x + yi = z^n\).
Для любых комплексных чисел \(u\) и \(v\) \[|uv|^2 = uv \cdot \overline{uv} = u\overline{u} \cdot v\overline{v} = |u|^2 \cdot |v|^2.\] Модули неотрицательны, значит, \(|uv| = |u| \cdot |v|\).
Докажем индукцией, что \(|z^n| = |z|^n\). При \(n = 1\) равенство верно. Пусть оно верно при \(n = k\), то есть \(|z^k| = |z|^k\); тогда \[|z^{k + 1}| = |z^k \cdot z| = |z^k| \cdot |z| = |z|^k \cdot |z| = |z|^{k + 1}.\] Значит, равенство верно и при \(n = k + 1\), а потому при любом натуральном \(n\).
Из равенства \(x + yi = z^n\) получаем \(|x + yi| = |z^n| = |z|^n\), то есть \(\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^n\); возведя обе части в квадрат, получаем \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n\).
Ответ: доказано: если \(x + yi = (a + bi)^n\), где \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное, то \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n\).
Докажите, что если \(x + yi = (a + bi)^n\), то \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n\).
Здесь \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное. Обозначим \(z = a + bi\); тогда \(x + yi = z^n\).
Сначала докажем, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей. Для любого комплексного числа произведение его на сопряжённое равно квадрату его модуля, а число, сопряжённое произведению, равно произведению сопряжённых. Поэтому для любых комплексных чисел \(u\) и \(v\) \[|uv|^2 = uv \cdot \overline{uv} = u\overline{u} \cdot v\overline{v} = |u|^2 \cdot |v|^2.\] Модули неотрицательны, значит, \(|uv| = |u| \cdot |v|\).
Теперь методом математической индукции докажем равенство \(|z^n| = |z|^n\). При \(n = 1\) оно верно. Пусть оно верно при \(n = k\), т. е. \(|z^k| = |z|^k\). Тогда \[|z^{k + 1}| = |z^k \cdot z| = |z^k| \cdot |z| = |z|^k \cdot |z| = |z|^{k + 1}.\] Значит, равенство верно и при \(n = k + 1\), а по методу математической индукции — при любом натуральном \(n\).
Из равенства \(x + yi = z^n\) получаем \(|x + yi| = |z^n| = |z|^n\), т. е. \(\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^n\). Обе части этого равенства неотрицательны; возведя их в квадрат, получаем \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n\), что и требовалось доказать.
Ответ: доказано: если \(x + yi = (a + bi)^n\), где \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное, то \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n\).
