Страница 128 номер 13.43, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \(\overline{z} = a - bi\), \(z^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi\). Числа \(z\) и \(z^2\) сопряжённые тогда и только тогда, когда \(z^2 = \overline{z}\), т. е. \((a^2 - b^2) + 2abi = a - bi\). Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, поэтому задача сводится к поиску действительных решений системы \[\begin{cases} a^2 - b^2 = a, \\ 2ab = -b. \end{cases}\] Второе уравнение запишем в виде \(b(2a + 1) = 0\); отсюда \(b = 0\) или \(a = -\frac{1}{2}\). При \(b = 0\) первое уравнение принимает вид \(a^2 = a\), его корни \(0\) и \(1\). При \(a = -\frac{1}{2}\) оно принимает вид \(\frac{1}{4} - b^2 = -\frac{1}{2}\), откуда \(b^2 = \frac{3}{4}\), \(b = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\). Поэтому \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} b = 0, \\ a^2 = a, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ \frac{1}{4} - b^2 = -\frac{1}{2}; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = 0, \\ b = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} a = 1, \\ b = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ b = \frac{\sqrt{3}}{2}, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ b = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \end{array}\right.\] Следовательно, искомых чисел четыре: \(z_1 = 0\), \(z_2 = 1\), \(z_3 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\), \(z_4 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\).

Ответ: \(0\); \(1\); \(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\); \(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\).