Страница 128 номер 13.42, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите значение выражения \(i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 100i^{100}\).
\(i^2 = -1\), \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\), \(i^4 = (i^2)^2 = 1\), поэтому \(i^{p + 4} = i^p \cdot i^4 = i^p\) при любом натуральном \(p\). Сто слагаемых разбиваем по порядку на \(25\) четвёрок. В четвёрке \((4m + 1)i^{4m + 1}\), \((4m + 2)i^{4m + 2}\), \((4m + 3)i^{4m + 3}\), \((4m + 4)i^{4m + 4}\), где \(m = 0, 1, \ldots, 24\), степени равны \(i\), \(-1\), \(-i\), \(1\), и её сумма \[(4m + 1)i - (4m + 2) - (4m + 3)i + (4m + 4) = 2 - 2i.\] Поэтому \[i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 100i^{100} = 25(2 - 2i) = 50 - 50i.\]
Ответ: \(50 - 50i\).
Найдите значение выражения \(i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 100i^{100}\).
Так как \(i^2 = -1\), \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\), \(i^4 = (i^2)^2 = 1\), то \(i^{p + 4} = i^p \cdot i^4 = i^p\) при любом натуральном \(p\): степени числа \(i\) повторяются через четыре. Разобьём сто слагаемых по порядку на \(25\) четвёрок. В четвёрке со слагаемыми \((4m + 1)i^{4m + 1}\), \((4m + 2)i^{4m + 2}\), \((4m + 3)i^{4m + 3}\), \((4m + 4)i^{4m + 4}\), где \(m = 0, 1, \ldots, 24\), степени равны соответственно \(i\), \(-1\), \(-i\), \(1\), поэтому сумма четвёрки равна \[(4m + 1)i - (4m + 2) - (4m + 3)i + (4m + 4) = 2 - 2i.\] Все \(25\) четвёрок дают одну и ту же сумму \(2 - 2i\), поэтому \[i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 100i^{100} = 25(2 - 2i) = 50 - 50i.\]
Ответ: \(50 - 50i\).
