Страница 128 номер 13.45, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что если \(x + yi = (a + bi)^n\), то \(x - yi = (a - bi)^n\).
Здесь \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное. Обозначим \(z = a + bi\); тогда \(\overline{z} = a - bi\), \(x + yi = z^n\).
Докажем индукцией, что \(\overline{z^n} = \overline{z}^n\). При \(n = 1\) равенство верно. Пусть оно верно при \(n = k\), то есть \(\overline{z^k} = \overline{z}^k\); тогда \[\overline{z^{k + 1}} = \overline{z^k \cdot z} = \overline{z^k} \cdot \overline{z} = \overline{z}^k \cdot \overline{z} = \overline{z}^{k + 1}.\] Значит, равенство верно и при \(n = k + 1\), а потому при любом натуральном \(n\).
Из равенства \(x + yi = z^n\) следует \(\overline{x + yi} = \overline{z^n}\), то есть \(x - yi = \overline{z}^n = (a - bi)^n\).
Ответ: доказано: если \(x + yi = (a + bi)^n\), где \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное, то \(x - yi = (a - bi)^n\).
Докажите, что если \(x + yi = (a + bi)^n\), то \(x - yi = (a - bi)^n\).
Здесь \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное. Обозначим \(z = a + bi\); тогда \(\overline{z} = a - bi\), \(x + yi = z^n\), и нужно доказать, что \(x - yi = \overline{z}^n\).
Сначала методом математической индукции докажем, что \(\overline{z^n} = \overline{z}^n\) при любом натуральном \(n\). При \(n = 1\) равенство верно. Пусть оно верно при \(n = k\), т. е. \(\overline{z^k} = \overline{z}^k\). Число, сопряжённое произведению, равно произведению сопряжённых, поэтому \[\overline{z^{k + 1}} = \overline{z^k \cdot z} = \overline{z^k} \cdot \overline{z} = \overline{z}^k \cdot \overline{z} = \overline{z}^{k + 1}.\] Значит, равенство верно и при \(n = k + 1\), а по методу математической индукции — при любом натуральном \(n\).
Числа, сопряжённые равным числам, равны, поэтому из равенства \(x + yi = z^n\) следует \(\overline{x + yi} = \overline{z^n}\), т. е. \(x - yi = \overline{z}^n = (a - bi)^n\), что и требовалось доказать.
Ответ: доказано: если \(x + yi = (a + bi)^n\), где \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) — действительные числа, \(n\) — натуральное, то \(x - yi = (a - bi)^n\).
