Страница 128 номер 13.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите неравенство: 1) \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\); 2) \(|z_1 + z_2 + \ldots + z_n| \le |z_1| + |z_2| + \ldots + |z_n|\).
1) Пусть \(z_1 = a_1 + b_1 i\), \(z_2 = a_2 + b_2 i\). Тогда \(z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\) и \[\begin{aligned} &|z_1 + z_2|^2 = (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 = {} \\ &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2(a_1a_2 + b_1b_2). \end{aligned}\] Кроме того, \((|z_1| + |z_2|)^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1| \cdot |z_2|\). Обе части доказываемого неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству \(|z_1 + z_2|^2 \leqslant (|z_1| + |z_2|)^2\), то есть \(2(a_1a_2 + b_1b_2) \leqslant 2|z_1| \cdot |z_2|\), или \(a_1a_2 + b_1b_2 \leqslant |z_1| \cdot |z_2|\). Докажем его: \[\begin{aligned} &|z_1|^2 \cdot |z_2|^2 - (a_1a_2 + b_1b_2)^2 = {} \\ &= (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) - (a_1a_2 + b_1b_2)^2 = {} \\ &= a_1^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2 = {} \\ &= (a_1b_2 - a_2b_1)^2 \geqslant 0. \end{aligned}\] Значит, \((a_1a_2 + b_1b_2)^2 \leqslant (|z_1| \cdot |z_2|)^2\); так как \(|z_1| \cdot |z_2| \geqslant 0\), то \(|a_1a_2 + b_1b_2| \leqslant |z_1| \cdot |z_2|\), и тем более \(a_1a_2 + b_1b_2 \leqslant |z_1| \cdot |z_2|\). Неравенство 1) доказано.
2) Докажем неравенство индукцией по числу слагаемых \(n\). При \(n = 1\) оно верно: \(|z_1| \leqslant |z_1|\). Пусть оно верно при \(n = k\). По неравенству 1) для чисел \(z_1 + z_2 + \ldots + z_k\) и \(z_{k + 1}\) и по предположению индукции \[\begin{aligned} &|z_1 + \ldots + z_k + z_{k + 1}| \leqslant |z_1 + \ldots + z_k| + |z_{k + 1}| \leqslant {} \\ &\leqslant |z_1| + \ldots + |z_k| + |z_{k + 1}|. \end{aligned}\] Значит, неравенство верно и при \(n = k + 1\), а потому при любом натуральном \(n\).
Ответ: 1) неравенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\); 2) неравенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1, z_2, \ldots, z_n\) при любом натуральном \(n\).
Докажите неравенство: 1) \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\); 2) \(|z_1 + z_2 + \ldots + z_n| \le |z_1| + |z_2| + \ldots + |z_n|\).
1) Пусть \(z_1 = a_1 + b_1 i\), \(z_2 = a_2 + b_2 i\). Тогда \(z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\), и по определению модуля \[\begin{aligned} &|z_1 + z_2|^2 = (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 = {} \\ &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2(a_1a_2 + b_1b_2). \end{aligned}\] Кроме того, \((|z_1| + |z_2|)^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1| \cdot |z_2|\). Обе части доказываемого неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству \(|z_1 + z_2|^2 \leqslant (|z_1| + |z_2|)^2\), т. е. неравенству \(2(a_1a_2 + b_1b_2) \leqslant 2|z_1| \cdot |z_2|\), или \(a_1a_2 + b_1b_2 \leqslant |z_1| \cdot |z_2|\).
Докажем последнее неравенство. Имеем: \[\begin{aligned} &|z_1|^2 \cdot |z_2|^2 - (a_1a_2 + b_1b_2)^2 = {} \\ &= (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) - (a_1a_2 + b_1b_2)^2 = {} \\ &= a_1^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2 = {} \\ &= (a_1b_2 - a_2b_1)^2 \geqslant 0. \end{aligned}\] Значит, \((a_1a_2 + b_1b_2)^2 \leqslant (|z_1| \cdot |z_2|)^2\). Так как \(|z_1| \cdot |z_2| \geqslant 0\), отсюда \(|a_1a_2 + b_1b_2| \leqslant |z_1| \cdot |z_2|\), и тем более \(a_1a_2 + b_1b_2 \leqslant |z_1| \cdot |z_2|\). Неравенство 1) доказано.
2) Докажем неравенство методом математической индукции по числу слагаемых \(n\). При \(n = 1\) оно верно: \(|z_1| \leqslant |z_1|\). Пусть неравенство верно при \(n = k\), т. е. \(|z_1 + z_2 + \ldots + z_k| \leqslant |z_1| + |z_2| + \ldots + |z_k|\). Применим неравенство пункта 1) к числам \(z_1 + z_2 + \ldots + z_k\) и \(z_{k + 1}\), а затем предположение индукции: \[\begin{aligned} &|z_1 + \ldots + z_k + z_{k + 1}| \leqslant |z_1 + \ldots + z_k| + |z_{k + 1}| \leqslant {} \\ &\leqslant |z_1| + \ldots + |z_k| + |z_{k + 1}|. \end{aligned}\] Значит, неравенство верно и при \(n = k + 1\), а по методу математической индукции — при любом натуральном \(n\).
Ответ: 1) неравенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\); 2) неравенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1, z_2, \ldots, z_n\) при любом натуральном \(n\).
