Страница 127 номер 13.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите: 1) \(\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i}\); 2) \(\frac{4 - 3i}{(1 - i)(2 + i)}\); 3) \(\frac{2}{3 - i} + \frac{2}{3 + i}\); 4) \(\frac{1 + 2i}{1 - 2i} + \frac{1 - 2i}{1 + 2i}\); 5) \(\left(\frac{1 + i^7}{1 - i^5}\right)^9\).
1) \[\begin{aligned} &\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i} = \frac{3 + 9i - i + 3}{2 - i} = \frac{6 + 8i}{2 - i} = {} \\ &= \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{12 + 6i + 16i - 8}{4 + 1} = {} \\ &= \frac{4 + 22i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{4 - 3i}{(1 - i)(2 + i)} = \frac{4 - 3i}{2 + i - 2i + 1} = \frac{4 - 3i}{3 - i} = {} \\ &= \frac{(4 - 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{12 + 4i - 9i + 3}{9 + 1} = {} \\ &= \frac{15 - 5i}{10} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i. \end{aligned}\]
3) Общий знаменатель \((3 - i)(3 + i) = 9 + 1 = 10\): \[\frac{2}{3 - i} + \frac{2}{3 + i} = \frac{2(3 + i) + 2(3 - i)}{10} = \frac{6 + 2i + 6 - 2i}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.\]
4) Общий знаменатель \((1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5\): \[\begin{aligned} &\frac{1 + 2i}{1 - 2i} + \frac{1 - 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 + 2i)^2 + (1 - 2i)^2}{5} = {} \\ &= \frac{1 + 4i - 4 + 1 - 4i - 4}{5} = \frac{-6}{5} = -\frac{6}{5}. \end{aligned}\]
5) Так как \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\), то \(i^5 = i^4 \cdot i = i\) и \(i^7 = i^4 \cdot i^2 \cdot i = -i\): \[\left(\frac{1 + i^7}{1 - i^5}\right)^9 = \left(\frac{1 - i}{1 - i}\right)^9 = 1^9 = 1.\]
Ответ: 1) \(\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i\); 2) \(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i\); 3) \(\frac{6}{5}\); 4) \(-\frac{6}{5}\); 5) \(1\).
Вычислите: 1) \(\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i}\); 2) \(\frac{4 - 3i}{(1 - i)(2 + i)}\); 3) \(\frac{2}{3 - i} + \frac{2}{3 + i}\); 4) \(\frac{1 + 2i}{1 - 2i} + \frac{1 - 2i}{1 + 2i}\); 5) \(\left(\frac{1 + i^7}{1 - i^5}\right)^9\).
Действия выполняем по правилам действий с многочленами, заменяя \(i^2\) на \(-1\). Чтобы найти частное, умножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю: в знаменателе получается действительное число, так как \((a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\).
1) \[\begin{aligned} &\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i} = \frac{3 + 9i - i + 3}{2 - i} = \frac{6 + 8i}{2 - i} = {} \\ &= \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{12 + 6i + 16i - 8}{4 + 1} = {} \\ &= \frac{4 + 22i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{4 - 3i}{(1 - i)(2 + i)} = \frac{4 - 3i}{2 + i - 2i + 1} = \frac{4 - 3i}{3 - i} = {} \\ &= \frac{(4 - 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{12 + 4i - 9i + 3}{9 + 1} = {} \\ &= \frac{15 - 5i}{10} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i. \end{aligned}\]
3) Приведём дроби к общему знаменателю \((3 - i)(3 + i) = 9 + 1 = 10\): \[\frac{2}{3 - i} + \frac{2}{3 + i} = \frac{2(3 + i) + 2(3 - i)}{10} = \frac{6 + 2i + 6 - 2i}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.\]
4) Приведём дроби к общему знаменателю \((1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5\): \[\begin{aligned} &\frac{1 + 2i}{1 - 2i} + \frac{1 - 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 + 2i)^2 + (1 - 2i)^2}{5} = {} \\ &= \frac{1 + 4i - 4 + 1 - 4i - 4}{5} = \frac{-6}{5} = -\frac{6}{5}. \end{aligned}\]
5) Так как \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\), то \(i^5 = i^4 \cdot i = i\) и \(i^7 = i^4 \cdot i^2 \cdot i = -i\): \[\left(\frac{1 + i^7}{1 - i^5}\right)^9 = \left(\frac{1 - i}{1 - i}\right)^9 = 1^9 = 1.\]
Ответ: 1) \(\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i\); 2) \(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i\); 3) \(\frac{6}{5}\); 4) \(-\frac{6}{5}\); 5) \(1\).
