Страница 127 номер 13.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите: 1) \(\frac{3}{-i}\); 2) \(\frac{5i}{3 + 2i}\); 3) \(\frac{7 + i}{2 + i}\); 4) \(\frac{4 - 5i}{4 + 5i}\).
1) \[\frac{3}{-i} = \frac{3 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{3i}{1} = 3i.\]
2) \[\frac{5i}{3 + 2i} = \frac{5i(3 - 2i)}{(3 + 2i)(3 - 2i)} = \frac{15i + 10}{9 + 4} = \frac{10}{13} + \frac{15}{13}i.\]
3) \[\frac{7 + i}{2 + i} = \frac{(7 + i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{14 - 7i + 2i + 1}{4 + 1} = \frac{15 - 5i}{5} = 3 - i.\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{4 - 5i}{4 + 5i} = \frac{(4 - 5i)^2}{(4 + 5i)(4 - 5i)} = \frac{16 - 40i - 25}{16 + 25} = {} \\ &= \frac{-9 - 40i}{41} = -\frac{9}{41} - \frac{40}{41}i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(3i\); 2) \(\frac{10}{13} + \frac{15}{13}i\); 3) \(3 - i\); 4) \(-\frac{9}{41} - \frac{40}{41}i\).
Вычислите: 1) \(\frac{3}{-i}\); 2) \(\frac{5i}{3 + 2i}\); 3) \(\frac{7 + i}{2 + i}\); 4) \(\frac{4 - 5i}{4 + 5i}\).
Чтобы найти частное, умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю: в знаменателе получится действительное число, так как \((a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\).
1) \[\frac{3}{-i} = \frac{3 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{3i}{1} = 3i.\]
2) \[\frac{5i}{3 + 2i} = \frac{5i(3 - 2i)}{(3 + 2i)(3 - 2i)} = \frac{15i + 10}{9 + 4} = \frac{10}{13} + \frac{15}{13}i.\]
3) \[\frac{7 + i}{2 + i} = \frac{(7 + i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{14 - 7i + 2i + 1}{4 + 1} = \frac{15 - 5i}{5} = 3 - i.\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{4 - 5i}{4 + 5i} = \frac{(4 - 5i)^2}{(4 + 5i)(4 - 5i)} = \frac{16 - 40i - 25}{16 + 25} = {} \\ &= \frac{-9 - 40i}{41} = -\frac{9}{41} - \frac{40}{41}i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(3i\); 2) \(\frac{10}{13} + \frac{15}{13}i\); 3) \(3 - i\); 4) \(-\frac{9}{41} - \frac{40}{41}i\).
