Страница 127 номер 13.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите все такие комплексные числа \(z\), что: 1) \(z^2 = -i\); 2) \(z^2 = 15 - 8i\).
1) Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \((a + bi)^2 = -i\), то есть \((a^2 - b^2) + 2abi = 0 + (-1) \cdot i\). Приравняв действительные и мнимые части, получаем систему \[\begin{cases} a^2 - b^2 = 0, \\ 2ab = -1. \end{cases}\] Из второго уравнения \(a \ne 0\), \(b = -\frac{1}{2a}\). Отсюда \[\begin{cases} b = -\frac{1}{2a}, \\ a^2 - \frac{1}{4a^2} = 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} b = -\frac{1}{2a}, \\ 4a^4 - 1 = 0. \end{cases}\] Из уравнения \(4a^4 - 1 = 0\) получаем \(a^2 = \frac{1}{2}\) или \(a^2 = -\frac{1}{2}\); равенство \(a^2 = -\frac{1}{2}\) невозможно, так как \(a\) — действительное число. Поэтому \[\begin{cases} b = -\frac{1}{2a}, \\ \left[\begin{array}{l} a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ a = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right. \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ b = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ b = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} \end{array}\right.\] Следовательно, \(z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\), \(z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\).
2) Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \((a + bi)^2 = 15 - 8i\), то есть \((a^2 - b^2) + 2abi = 15 - 8i\). Приравняв действительные и мнимые части, получаем систему \[\begin{cases} a^2 - b^2 = 15, \\ 2ab = -8. \end{cases}\] Из второго уравнения \(a \ne 0\), \(b = -\frac{4}{a}\). Отсюда \[\begin{cases} b = -\frac{4}{a}, \\ a^2 - \frac{16}{a^2} = 15; \end{cases} \qquad \begin{cases} b = -\frac{4}{a}, \\ a^4 - 15a^2 - 16 = 0. \end{cases}\] Из уравнения \(a^4 - 15a^2 - 16 = 0\) получаем \(a^2 = 16\) или \(a^2 = -1\); равенство \(a^2 = -1\) невозможно, так как \(a\) — действительное число. Поэтому \[\begin{cases} b = -\frac{4}{a}, \\ \left[\begin{array}{l} a = 4, \\ a = -4; \end{array}\right. \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = 4, \\ b = -1, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -4, \\ b = 1. \end{cases} \end{array}\right.\] Следовательно, \(z_1 = 4 - i\), \(z_2 = -4 + i\).
Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); 2) \(4 - i\); \(-4 + i\).
Найдите все такие комплексные числа \(z\), что: 1) \(z^2 = -i\); 2) \(z^2 = 15 - 8i\).
1) Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \((a + bi)^2 = -i\). Отсюда \(a^2 + 2abi - b^2 = -i\);
\((a^2 - b^2) + 2abi = 0 + (-1) \cdot i\). Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, поэтому задача сводится к поиску действительных решений системы
\[\begin{cases} a^2 - b^2 = 0, \\ 2ab = -1. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(a \ne 0\), \(b = -\frac{1}{2a}\). Отсюда
\[\begin{cases} b = -\frac{1}{2a}, \\ a^2 - \frac{1}{4a^2} = 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} b = -\frac{1}{2a}, \\ 4a^4 - 1 = 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(4a^4 - 1 = 0\) получаем \(a^2 = \frac{1}{2}\) или \(a^2 = -\frac{1}{2}\). Равенство \(a^2 = -\frac{1}{2}\) невозможно, так как \(a\) — действительное число. Поэтому
\[\begin{cases} b = -\frac{1}{2a}, \\ \left[\begin{array}{l} a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ a = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right. \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ b = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ b = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} \end{array}\right.\]
Следовательно, задача имеет два решения: \(z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\), \(z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\).
2) Пусть \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Тогда \((a + bi)^2 = 15 - 8i\). Отсюда \(a^2 + 2abi - b^2 = 15 - 8i\);
\((a^2 - b^2) + 2abi = 15 - 8i\). Приравняв действительные и мнимые части, получаем систему
\[\begin{cases} a^2 - b^2 = 15, \\ 2ab = -8. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(a \ne 0\), \(b = -\frac{4}{a}\). Отсюда
\[\begin{cases} b = -\frac{4}{a}, \\ a^2 - \frac{16}{a^2} = 15; \end{cases} \qquad \begin{cases} b = -\frac{4}{a}, \\ a^4 - 15a^2 - 16 = 0. \end{cases}\]
Уравнение \(a^4 - 15a^2 - 16 = 0\) — квадратное относительно \(a^2\), его корни: \(a^2 = 16\) и \(a^2 = -1\). Равенство \(a^2 = -1\) невозможно, так как \(a\) — действительное число. Поэтому
\[\begin{cases} b = -\frac{4}{a}, \\ \left[\begin{array}{l} a = 4, \\ a = -4; \end{array}\right. \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = 4, \\ b = -1, \end{cases} \\ \begin{cases} a = -4, \\ b = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Следовательно, задача имеет два решения: \(z_1 = 4 - i\), \(z_2 = -4 + i\).
Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); 2) \(4 - i\); \(-4 + i\).
