Страница 128 номер 13.38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\).
Пусть \(z_2 \ne 0\) и \(z = \frac{z_1}{z_2}\). Тогда \(z \cdot z_2 = z_1\), и так как \(\overline{z \cdot z_2} = \overline{z} \cdot \overline{z}_2\), то \(\overline{z} \cdot \overline{z}_2 = \overline{z}_1\).
Если \(z_2 = a + bi \ne 0\), то числа \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно, поэтому \(\overline{z}_2 = a - bi \ne 0\). Значит, \(\overline{z} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\), то есть \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\).
Ответ: равенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2 \ne 0\).
Докажите, что \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\).
Пусть \(z_2 \ne 0\) и \(z = \frac{z_1}{z_2}\). По определению частного \(z \cdot z_2 = z_1\). Числа, сопряжённые равным числам, равны, а число, сопряжённое произведению, равно произведению сопряжённых: \(\overline{z \cdot z_2} = \overline{z} \cdot \overline{z}_2\). Поэтому \(\overline{z} \cdot \overline{z}_2 = \overline{z}_1\).
Число \(\overline{z}_2\) отлично от нуля: если \(z_2 = a + bi \ne 0\), то числа \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно, поэтому и \(\overline{z}_2 = a - bi \ne 0\). Значит, по определению частного \(\overline{z} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\), т. е. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\).
Ответ: равенство доказано для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2 \ne 0\).
