Страница 127 номер 13.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите: 1) \(\frac{-1}{i}\); 2) \(\frac{2 + i}{-i}\); 3) \(\frac{4}{2 - i}\); 4) \(\frac{3i}{1 + 2i}\); 5) \(\frac{1 + 4i}{2 + 3i}\); 6) \(\frac{3 + 4i}{3 - 4i}\).
1) \[\frac{-1}{i} = \frac{-1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{i}{1} = i.\]
2) \[\frac{2 + i}{-i} = \frac{(2 + i) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{2i - 1}{1} = -1 + 2i.\]
3) \[\frac{4}{2 - i} = \frac{4(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{8 + 4i}{4 + 1} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\]
4) \[\frac{3i}{1 + 2i} = \frac{3i(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3i + 6}{1 + 4} = \frac{6}{5} + \frac{3}{5}i.\]
5) \[\begin{aligned} &\frac{1 + 4i}{2 + 3i} = \frac{(1 + 4i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i + 8i + 12}{4 + 9} = {} \\ &= \frac{14 + 5i}{13} = \frac{14}{13} + \frac{5}{13}i. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &\frac{3 + 4i}{3 - 4i} = \frac{(3 + 4i)^2}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{9 + 24i - 16}{9 + 16} = {} \\ &= \frac{-7 + 24i}{25} = -\frac{7}{25} + \frac{24}{25}i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(i\); 2) \(-1 + 2i\); 3) \(\frac{8}{5} + \frac{4}{5}i\); 4) \(\frac{6}{5} + \frac{3}{5}i\); 5) \(\frac{14}{13} + \frac{5}{13}i\); 6) \(-\frac{7}{25} + \frac{24}{25}i\).
Вычислите: 1) \(\frac{-1}{i}\); 2) \(\frac{2 + i}{-i}\); 3) \(\frac{4}{2 - i}\); 4) \(\frac{3i}{1 + 2i}\); 5) \(\frac{1 + 4i}{2 + 3i}\); 6) \(\frac{3 + 4i}{3 - 4i}\).
Чтобы найти частное, умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю: в знаменателе получится действительное число, так как \((a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\).
1) \[\frac{-1}{i} = \frac{-1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{i}{1} = i.\]
2) \[\frac{2 + i}{-i} = \frac{(2 + i) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{2i - 1}{1} = -1 + 2i.\]
3) \[\frac{4}{2 - i} = \frac{4(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{8 + 4i}{4 + 1} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\]
4) \[\frac{3i}{1 + 2i} = \frac{3i(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3i + 6}{1 + 4} = \frac{6}{5} + \frac{3}{5}i.\]
5) \[\begin{aligned} &\frac{1 + 4i}{2 + 3i} = \frac{(1 + 4i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i + 8i + 12}{4 + 9} = {} \\ &= \frac{14 + 5i}{13} = \frac{14}{13} + \frac{5}{13}i. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &\frac{3 + 4i}{3 - 4i} = \frac{(3 + 4i)^2}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{9 + 24i - 16}{9 + 16} = {} \\ &= \frac{-7 + 24i}{25} = -\frac{7}{25} + \frac{24}{25}i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(i\); 2) \(-1 + 2i\); 3) \(\frac{8}{5} + \frac{4}{5}i\); 4) \(\frac{6}{5} + \frac{3}{5}i\); 5) \(\frac{14}{13} + \frac{5}{13}i\); 6) \(-\frac{7}{25} + \frac{24}{25}i\).
